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SS 05 - Lösung zur Prüfung 1, Y, 29.Juni2005

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 1 29.Juni2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Welcher Typ Matrix entsteht aus einer antisymmetrischen Matrix durch Transponieren?

1b)
Geben Sie in der Ebene einen zum Vektor [1, 4]' senkrechten Vektor an.

L:)
Vertauschen von x gegen y und 1 Vorzeichen ändern, also [4, -1]'

1c)
Welches ist der maximal mögliche Rang einer 4x6 Matrix?

L:)
4, die kleinere der beiden Dimensionszahlen.

1d)
Geben Sie eine symmetrische Matrix S und eine antisymmetrische Matrix A an, so dass gilt: S+A = [9, -2 ; 0, -5 ].

L:)
S = [9, -1 ; -1, -5 ]. A = [0, -1 ; 1, 0 ].

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & d_1 & d_2 \\
0 & 0 & c_1& ...
...\
d_1 & d_2 & d_3 & d_4
\end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

L:)
$\displaystyle{
Pl = \left(
\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 &...
... \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
}$

3)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 4nx4n obere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit den Werten 6 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und rechts davon bis zu n nebeneinander liegende Werte verschieden von Null sind (natürlich höchstens bis zum Rand). Das umfasst n-1 Nebendiagonalen und die Diagonale selbst.

L:)
n=5
D = zeros(4*n)
for zei = 1:4*n
  for spa = zei:min(zei-n+1,4*n)
    D(zei,spa) = 6
  end
end
spy(D)

4)
Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(4.8/0/0)$, $ B(0/6/0)$ und $C(0/0/4.5)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichung der zu E parallelen Ebene F an, welche die Punktspiegelung von E am Koordinatenursprung ist.

L:)
a = [4.8 0 0]'
b = [0  6 0]'
c = [0 0 4.5]'
ab = b-a
ac = c-a
n = cross(ab,ac)
en = n/sqrt(n'*n)
% Test ob a,b,c alle in derselben Ebene
dista = en'*a
distb = en'*b
distc = en'*c

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Dreieck ABC mit den Ecken $ A =(4/0)$, $B=(4/4)$, $C=(2/2)$ um $90^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Ecke B dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'.

L:)
ay = [4 0 1]'
by = [4 4 1]'
cy = [2 2 1]'
P0 = [ay by cy ay]
T1 = [1 0 -4 ; 0 1 -4; 0 0 1]
T2 = [0 -1 0 ; 1 0 0; 0 0 1]
T3 = [1 0 4 ; 0 1 4; 0 0 1]
P1 = T1*P0
P2 = T2*P1
% transformierte Punkte
P3 = T3*P2
% Gesamt Transformationsmatrix
TT = T3*T2*T1
% Transformierte Punkte mit TT
P3b = TT*P0
% Plot  Urbild schwarz, Schlussbild rot
plothclin(P0,'k')
stdhcaxis
hold on
plothclin(P1,'b')
plothclin(P2,'g')
plothclin(P3,'r')

6)
Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der y-Achse, welche durch die Punkte (0/0/4) und (0/10/4) gehen und dazwischen 5 Umgänge haben, so, dass die eine rechtsgängig und die andere linksgängig ist. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.

L:)
w = (0:0.01:5)*2*pi
y = w*2/(2*pi)  % W*Ganghoehe/(2*pi)
z = 4*cos(w)
xr = 4*sin(w)
xl = -4*sin(w)
plot3(xr,y,z,'r')
hold on
plot3(xl,y,z,'k')
% Achsenkreuz
plot3([0 0], [0 10], [0 0],'g')
plot3([0 5], [0 0], [0 0],'g')
plot3([0 0], [0 0], [0 5],'g')
axis([-5 5 0 10 -5 5])
axis square
% Kreuzungspunkte zwischen links und rechtsdrehender Helix
wm = (0:0.5:5)*2*pi
ym = wm*2/(2*pi)
zm = 4*cos(wm)
xm = 4*sin(wm)
plot3(xm,ym,zm,'bo')


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