SS 2005 - Lösungen zur Prüfung 2, B, 17.Aug.2005

B   Ingenieurmathematik Prüfung 2 17.August2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wieviele Nullen hat eine nxn Tridiagonalmatrix mindestens?

L:

$n^2 -n -2(n-1)~=~ n^2 -3\cdot n +2$ Matrix minus Diagonale minus zwei Nebendiagonalen.

1b)

Wie nennt man die beiden wichtigsten Gleichungs-Ansätze, welche für das Lösen von Fit-Problemen angewendet werden.

L:

Normalengleichungen und Fehlergleichungen

1c)

Geben Sie vier MATLAB Standardfunktionen an, welche einen komplexen Eingabewert und einen reellen Ausgabewert haben.

L:

real(), imag(), abs(), angle()

1d)

Wie lautet der MATLAB-Befehl, um dem mit plot3 zu zeichnenden Bereich eine Würfel-Form vorzuschreiben?

L:

axis([-d d -d d -d d]);   axis square

2)

Ein Windschutzzelt hat einen Grundriss in der Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Bodenpukte der Verspannung sind C=(0/0), A=(9/0), und B=(0/12). In der Mitte der Hypothenuse ist ein 2 Meter hoher vertikaler Stützpfosten zum Punkt S. Berechnen Sie den Winkel zwischen den zwei Dreiecksflächen CAS und CBS.

L:

C=[0 0 0]'; A=[9 0 0]'; B=[0 12 0]'; S=(A+B)/2+[0 0 2]';
na=cross(A-C,S-C); nb=cross(S-C,B-C); coswi = na'*nb/norm(na)/norm(nb);
wi = acos(coswi)*180/pi ,na ,nb  % wi = 29.8976 Grad
% na = [0 -18 54]' , nb = [-24 0 54]'

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das dieselbe Wirkung hat, wie die Multiplikation von links mit der unten angegebenen Matrix. Das Skript soll also eine beliebige 4x4 Matrix $A$ in eine entsprechende Matrix $\widetilde{A}$ umforman.

$$\widetilde{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \... ... 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \cdot A$$

L:

A=[11 12 13 14; 21 22 23 24; 31 32 33 34; 41 42 43 44];
idar=[4 2 3 1]; Atr = A; 
for k=1:4;
  Atr(k,:)=A(idar(k),:); 
end; Atr

4)

Ein (rechtwinkliger) Quader hat die Seitenlängen 9, 12 und 8 in x,y und z-Richtung. Die Ecken werden in der unteren Ebene im Gegenuhrzeigersinn mit ABCD bezeichet und korrespondierend in der oberen mit EFGH. A sei im Nullpunkt. Bestimmen Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen Normalform für die Ebene durch die drei Punkte F,C,H, sowie der Ebenen die dazu parallel sind und durch A und durch G gehen.

L:

A=[0 0 0]'; B=[9 0 0]'; C=[9 12 0]'; D=[0 12 0]';
E=[0 0 8]'; F=[9 0 8]'; G=[9 12 8]'; H=[0 12 8]';
na=cross(H-C,F-C); ne=na/norm(na)
ne'*F, ne'*C, ne'*H, ne'*G
%  ne = [0.5946 0.4460 0.6690]'
%  Ebenen: ne'*OP - 10.7034 = 0 ; ne'*OP=0 ;  ne'*OP - 16.0552 = 0 ;

5)

Suchen Sie alle Teil-Transformationsmatrizen, die Gesamt-Transformations-Matrix und die abgebildete Figur in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die ``L'' -Figur (4/2) (4/0) (5/0) an der Geraden $y=0.2\cdot x$ spiegeln.

L:

Lur = [4 4 5; 2 0 0; 1 1 1]; w = atan(0.2);
Mr1 = [cos(-w) -sin(-w) 0; sin(-w) cos(-w) 0; 0 0 1]
Mirr = [1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
Mr2 = [cos(w) -sin(w) 0; sin(w) cos(w) 0; 0 0 1]
Mt = Mr2*Mirr*Mr1 , Lb = Mt*Lur
plot(Lur(1,:),Lur(2,:)); hold on; plot(Lb(1,:),Lb(2,:),'r')
axis([-1 9 -1 9]); axis square;  plot([0 10],[0 2]); hold off

6)

Geben Sie die Funktion des totalen Differentials $\Delta F$ an für die Funktion
$F(x,y,z,u) = \sqrt{z\cdot u} \cdot (u^2\cdot y^3/x + z/y^3 + z^2/u )$.

L:

$$\begin{array}{lcl} \Delta F &=& -{\frac {\sqrt {zu}{u}^{2}{y... ...-{\frac {{z}^{2}}{{u}^{2}}} \right) \cdot \Delta u \end{array}$$