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SS06 - Lösungen zur Prüfung 1, R-G-B-Y, 28. Juni 2006

R   Lösungen zur Ingenieurmathematik Prüfung 1 28.Juni2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wie heisst die MATLAB Funktion zur Berechnung der L-R-Zerlegung und wie lautet ihre Signatur?

L)
[L,R,P] = lu(A)

1b)
Wieviele Begegnungen gibt es bei einer einfachen Turnier-Runde (keine Hin- und Rückspiele) von n Teilnehmern?

L)
n*(n-1)/2

1c)
Bestimmen Sie die zwei Resultate: Skalarprodukt der Vektoren $v = [-1 ~ -1]'$ und $w = [-1 ~ 1]'$, sowie das Produkt der komplexen Zahlen $z_v = -1-j$ und $z_w = -1+j$. Daraus sehen Sie, dass das Skalarprodukt und die komplexe Multiplikation prinzipiell verschieden sind.

L)
-1*-1 + -1*1 = 0 $z_v\cdot z_w = 2$

1d)
Mit welchen MATLAB Befehlen erreicht man, dass die Grafik in einem quadratischen Feld gezeichnet wird und dabei die x-Werte zwischen -4 und 8 und die y-Werte zwischen 0 und 12 variieren?

L)
axis([-4 8 0 12]) ; axis square

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrrr}
0 & 0 & b_2 & b_1 & b_5 \\
0 & 0...
... & e_2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

L)
Pl1 = [ 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 1; 1 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0];
Pr1 = [ 0 0 0 1 0; 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1]

3)
Suchen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

\begin{displaymath}
z^2 +4+4j = 0
\end{displaymath}

L)
$2\sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{(-\pi\cdot 3/8+k\cdot \pi)}$

4)
Gegeben ist der (nicht reguläre) Tetraeder ABCD durch die Punkte $A(0/0/0)$, $ B(0/12/0)$ und $C(9/6/0)$, $D(3/6/8)$ . Geben Sie die Gleichung in der Hesse'schen Normalform an für die mittelsenkrechte Ebene zur Strecke CD. Berechnen Sie zusätzlich die Abstände aller Tetraeder-Ecken von dieser Ebene.

L)
M= [6 6 4]' en = [-0.6 0 0.8]
Distanzen: A,B: d=0.4 , C: d= -5, D: d=5

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Quadrat ABCD mit den Ecken $ A =(8/-6)$, $B=(16/-6)$, $C=(16/2)$, $D=(8/2)$ um $-90^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Ecke D dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten ÃBCD.
Geben Sie auch ein MATLAB-Skript an, das diese Transformation in homogenen Koordinaten durchführt und das Urbild und Bild in eine gemeinsame Grafik einzeichnet.

L)
T1 = [1 0 -8; 0 1 -2;0 0 1];   T2 = [0 1 0; -1 0 0 ; 0 0 1];
T3 =  [1 0 8; 0 1 2;0 0 1]; TT = T3*T2*T1 % =[0 1 6; -1 0 10 ; 0 0 1]; 
Q = [8 16 16 8 8; -6 -6 2 2 -6; 1 1 1 1 1]; QT = TT*Q;
plot(Q(1,:),Q(2,:)); hold on; plot(QT(1,:),QT(2,:),'r');
axis([-18 18 -18 18]); axis square; hold off

6)
Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der x-Achse, welche beide im Punkt (0/0/5) starten, wobei die rechtsdrehende Schraubenlinie 5 Umgänge in die $+x$ Richtung hat, und die linksdrehende ebensoviele in die $-x$ Richtung aufweist, beide mit einer Ganghöhe 0.8. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese in derselben Grafik zu zeichnen.

L)
w=(0:0.02:5)*2*pi; z= 5*cos(w); y= -5*sin(w); xr= w*0.8/2/pi; xl = -xr;
clf; plot3(xr,y,z); hold on; plot3(xl,y,z,'m'); axis equal; hold off


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2012-03-21