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SS 06 - Lösungen zur Prüfung 1, Y, 28. Juni 2006

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 1 28.Juni2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wieviele Begegnungen gibt es bei einer vollen Turnier-Runde mit Hin- und Rückspielen von n Teilnehmern?

L)
n*(n-1)

1b)
Bestimmen Sie die zwei Resultate: Skalarprodukt der Vektoren $v = [1 ~ 1]'$ und $w = [1 ~ -1]'$, sowie das Produkt der komplexen Zahlen $z_v = 1+j$ und $z_w = 1-j$. Daraus sehen Sie, dass das Skalarprodukt und die komplexe Multiplikation prinzipiell verschieden sind.

L)
1*1 + 1*-1 = 0 $z_v\cdot z_w = 2$

1c)
Warum ist die Formel der Kramer'schen Regel für die praktische Lösung von grösseren linearen Gleichungssystemen ungeeignet?

L)
Weil der Aufwand zur Auswertung der Formel enorm stark ansteigt ($n!$), viel viel stärker als z. B. bei der Gauss-Elimination ($n^3$).

1d)
Mit welchen MATLAB Befehlen erreicht man, dass die Grafik in einem quadratischen Feld gezeichnet wird und dabei die x-Werte zwischen $-3$ und $3$  und die y-Werte zwischen $0$ und $6$ variieren?

L)
axis([-3 3 0 6]) ; axis square

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrrr}
c_2 & 0 & 0 & c_4 & c_1 \\
0 & 0 &...
... & e_2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

L)
Pl4 = [0 0 1 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0]
Pr4 = [0 0 0 0 1; 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 ]

3)
Suchen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

\begin{displaymath}
z^2+ 9-9j = 0
\end{displaymath}

L)
$3\sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{(\pi\cdot 3/8+k\cdot \pi)}$

4)
Gegeben ist der (nicht reguläre) Tetraeder ABCD durch die Punkte $A(0/0/0)$, $ B(12/0/0)$ und $C(6/-9/0)$, $D(6/-3/8)$ . Geben Sie die Gleichung in der Hesse'schen Normalform an für die mittelsenkrechte Ebene zur Strecke CD. Berechnen Sie zusätzlich die Abstände aller Tetraeder-Ecken von dieser Ebene.

L)
M= [6 -6 4]' en = [0 0.6 0.8]
Distanzen: A,B: d=0.4 , C: d= -5, D: d=5

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Quadrat ABCD mit den Ecken $ A =(10/-8)$, $B=(20/-8)$, $C=(20/2)$, $D=(10/2)$ um $+90^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Ecke D dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten ÃBCD.
Geben Sie auch ein MATLAB-Skript an, das diese Transformation in homogenen Koordinaten durchführt und das Urbild und Bild in eine gemeinsame Grafik einzeichnet.

L)
T1 = [1 0 -10; 0 1 -2;0 0 1];   T2 = [0 -1 0; 1 0 0 ; 0 0 1];
T3 =  [1 0 10; 0 1 2;0 0 1]; TT = T3*T2*T1 % =[0 -1 12; 1 0 -8 ; 0 0 1]; 
Q = [10 20 20 10 10; -8 -8 2 2 -8; 1 1 1 1 1]; QT = TT*Q;
plot(Q(1,:),Q(2,:)); hold on; plot(QT(1,:),QT(2,:),'r');
axis([-22 22 -22 22]); axis square; hold off

6)
Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der y-Achse, welche beide im Punkt (0/0/6) starten, wobei die rechtsdrehende Schraubenlinie 5 Umgänge in die $+y$ Richtung hat, und die linksdrehende ebensoviele in die $-y$ Richtung aufweist, beide mit einer Ganghöhe von 1.2. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese in derselben Grafik zu zeichnen.

L)
w=(0:0.02:5)*2*pi; z= 6*cos(w); x= 6*sin(w); yr= w*1.2/2/pi; yl = -yr;
clf; plot3(x,yr,z); hold on; plot3(x,yl,z,'m'); axis equal; hold off


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2012-03-21