WS 06/07 - Lösungen zur Prüfung 1, 6.12.2006

Lösungen zur Prüfung A 6.Dez.2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, Zwischenresultate obligatorisch, Max.6*8 P., 40 P. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welche spezielle Struktur hat eine Eliminationsmatrix und wie findet man deren Inverse?

L:

Struktur : Einheitsmatrix mit einzelnem Wert verschieden von Null unterhalb der Diagonalen. Inverse bilden durch Vorzeichen-Umkehr bei Aussendiagonal-Element.

1b)

Geben Sie einen Vektor v mit komplexen Zahlen als Elemente an, so dass plot(v) ein Quadrat mit allen vier Seiten zeichnet, dessen Seiten zu den Koordinatenachsen parallel verlaufen!

L:

v = [ 1+j, -1+j, -1-j, 1-j, 1+j]; plot(v)

1c)

Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um die Funktionen $y_1=\mathrm{e}^{-x}$ (rot) und $y_2 = 1/x$ (schwarz) in dasselbe Bild zu zeichnen mit dem Bereich $0 < x < 5$ und $0 < y < 10$.

L:

x = 0:0.01:5; y1 = exp(-x); y2 = 1./x(2:500);
plot(x,y1,'r'); hold on ; 
plot(x(2:500),y2,'k'); axis([0 5 0 10]); hold off

1d)

Wie kann man die Information, dass eine Matrix A orthogonal ist zum Vermindern von Rechenaufwand beim Lösen von linearen Gleichungssystemen verwerten?

L:

Wenn eine orthogonale Matrix vorliegt, so erhält man die dazu inveerse Matrix durch einfaches Transponieren.

2)

Geben Sie alle (komplexen) Lösungen an für die Gleichung $z^3-27\cdot j = 0$

L:

$z^3 = 27*exp(j \cdot \pi/2)$
$z_k = 3*exp(j \cdot( \pi/6 + (k-1) \cdot 2\pi/3 ), k=1 \ldots 3 )$

3)

Schreiben Sie ein Funktions-Programm in MATLAB-Code, welches zu einer quadratischen eingegebenen Matrix die Matrix des symmetrischen Anteils zurückgibt. Die Funktion soll das Resultat Element für Element einzeln berechnen.

L:

 

function S=symmpart(M)
[n,m]=size(M);
S=M;
% damit ist die Diegonale bereits erledigt
% Schleife ueber Teil oberhalb Diagonale
for zei = 1:n
  for spa = zei+1:n
    S(zei,spa) = 0.5*( M(zei,spa)+M(spa,zei) );
    S(spa,zei) = S(zei,spa);
  end
end

4)

Bestimmen Sie alle Elemente der unbekannten Matrizen $\mathbf{Pl}$ und $\mathbf{Pr}$, so dass die untenstehende Gleichung für beliebige $a_{jk}$ gilt:

$$\left( \begin{array}{rrrrr} a_{55} & a_{54} & 0 & a_{51} ... ...} & a_{54} & a_{55} \end{array} \right) \cdot \mathbf{Pr}$$

L:

$$Pl = \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ ... ...& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

$$Pr = \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ ... ...& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

5)

Ein Quadrat mit den Ecken $(x/y)=(\pm 2~cm/ \pm 2~cm)$ soll mit Linien, die von links oben nach rechts unten im 45$^{\mathrm{o}}$Winkel verlaufen und untereinander den Abstand 1 cm haben, grob schraffiert werden. Geben Sie die Gleichungen der dazugehörenden 5 Trägergeraden in der Hesse'schen Normalform an! Die mittere dieser 5 Geraden soll durch den Koordinaten-Ursprung verlaufen.

L:

Normalenvektor 45$^{\mathrm{o}}$nach rechts oben n = [1 1].
Einheits-Normalenvektor en = [sqrt(2)/2 sqrt(2)/2 ].
Gerade durch (0/0): en'*OP = 0
weitere Geraden: en'*OP -2 = 0 ; en'*OP -1 = 0,
                 en'*OP +1 = 0 ; en'*OP +2 = 0

6)

Schreiben Sie ein MATLAB-Skript zum Zeichnen (plot3) des Verlaufes einer Leuchtschlange bei einem Design-''Christbaum''. Die Leuchtschlange verläuft mit 8 Umgängen zu je 10 cm Ganghöhe als konische Helix mit variablem Radius zwischen 34 und 2 cm auf der Oberfläche eines geraden Kreiskegels.

L:

 

w = (0:0.01:8)*2*pi;  z = w*10/(2*pi); 
r = 34 - z/80*32;
x = r .*cos(w); y = r .* sin(w);
plot3(x,y,z)