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WS 07/08 - Lösungen zur Prüfung 1, B, 27.November2007

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 27.November2007

Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Welcher Algorithmus muss vorgängig erledigt sein, bevor man mit Vorwärts- und Rückwärts-Einsetzen die Lösung eines Gleichungssystems fertig berechnen kann?

1b)
Welchen Fehler kann man beim soeben eingegebenen Befehl vermuten, wenn MATLAB die Meldung ausgibt ``Error using mpower, matrix must be square''?

1c)
Welche Bedingung müssen die Diagonalelemente in einer antisymmetrischen Matrix erfüllen?

1d)
Wieviele der Lösungen einer n-ten Wurzel aus einer positiven rellen Zahl sind rein reell, im Fall, dass n eine ungerade Zahl ist?

2)
Suchen Sie die Permutationsmatrixen $P$ so, dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Komponenten a .. f im angegebenen Vektor gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{r}
a\\ f\\ b\\ c \\ e\\ d\\
\end{arr...
...
\left(
\begin{array}{r}
a\\ b\\ c\\ d \\ e\\ f\\
\end{array}
\right)
}$

L 2)
$\displaystyle{
P = \left(
\begin{array}{rrrrrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
...
...
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)
}$

3)
Das ebene Rechteck A=[5 2]', B=[11 2]', C=[11 4]', D=[5 4]' soll einer Punktspiegelung um den Punkt P=[4 1]' unterworfen werden. Geben Sie die Matrizen der Teiltransformationen in homogenen Koordinaten der Ebene an und die Gesamt-Transformationsmatrix, sowie die Eck-Koordinaten des Bildes.

L 3)
 Reco = [ 5 11 11 5 5; 2  2  4  4  2; 1  1  1  1  1]
 Tz = [ 1  0 -4; 0  1 -1; 0  0  1],  Ps = [-1  0  0; 0 -1  0; 0  0  1]
 Tb = [ 1  0  4; 0  1  1; 0  0  1],  Tt = Tb*Ps*Tz , Retr = Tt*Reco
%  Tt = [-1  0  8; 0 -1  2; 0  0  1]
%  Retr = [ 3 -3 -3  3  3; 0  0 -2 -2  0; 1  1  1  1  1]

4)
Im Würfel ABCD EFGH ( A=[0 0 0]', B=[6 0 0]', C=[6 6 0]', D=[0 6 0]', E=[0 0 6]', F=[6 0 6]', G=[6 6 6]', H=[0 6 6]' ) wird eine Ebene durch die 4 Punkte A,D, MB und MC gelegt, wobei MC der Mittelpunkt der Strecke CG ist und MB der Mittelpunkt der Strecke BF. Bestimmen Sie die Hesse'sche Normalform dieser Ebene und berechnen Sie die Abstände der Punkte E und G von dieser Ebene.

L 4)
 A=[0 0 0]',  B=[6 0 0]', 
 C=[6 6 0]',  D=[0 6 0]', 
 E=[0 0 6]',  F=[6 0 6]', 
 G=[6 6 6]',  H=[0 6 6]'
 AD = D-A; AMB = (B+F)/2 - A;
 N = cross(AMB, AD)  % = [ -18 0  36]'
 en = N/norm(N)      % = [ -0.4472 0  0.8944]'
 dkrit = en'*A       % = 0  Ebene geht durch A = (0/0/0)
 de = en'*E - dkrit  %   5.3666
 dg = en'*G - dkrit  %   2.6833

5)
Bestimmen Sie die Parameterdarstellungen der folgenden zwei Schraubenlinien (Schneidekanten der beiden Zylinder eines Mahlwerks): Beide Schraubenlinien haben je eine Höhe von 24 cm, einen Durchmesser von 4 cm und 6 Umgänge. die rechtsdrehende Schraubenlinie hat die Achse $x=2,~ y= 0$ und $z$ variabel und die linksdrehende die Achse $x=-2,~ y= 0$ und $z$ variabel.
Beide Schraubenlinien starten am Punkt $(0/0/0)$.
Geben Sie die MATLAB Befehle an, um diese beiden Linien in derselben Grafik zu zeichnen!

L 5)
 t = (0:0.01:6)*2*pi; h =  24/6;
 % Schraube bei x = 2, R= 2, h = 18/6 = 3
 %  Start bei x - 0:
   xr = 2 - 2*cos(t) ; yr = -2*sin(t); zr = t*h/(2*pi);
   plot3(xr,yr,zr);  hold on
 % Schraube, Achse bei x = -2, R= 2, h = 18/6 = 3
 %  Start bei x = 0, rechtsdrehend
   xl = -2 +2*cos(t) ; yl = -2*sin(t); zl = t*h/(2*pi);
   plot3(xl,yl,zl) ;  axis equal;  hold off

6)
Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, welche in einer eingegebenen oberen Dreiecksmatrix so viele Elemente mit Null überschreibt, dass neben der Diagonalen nur noch 3 zu dieser parallele Linien übrigbleiben , die von Null verschiedene Werte aufweisen. Von der eingegebenen Matrix darf vorausgesetzt werden, dass deren Dimensionszahl grösser als 4 ist.

L 6)
  function BM = bandpart(M)
  [nz,ns] = size(M); BM = M; 
  bandwid = 4;
  for zei =  1:(nz-bandwid)
    for spa = (zei+bandwid):ns 
      BM(zei,spa) = 0;
    end
  end


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2012-03-21