WS 07/08 - Prüfung 2, G, 8.Januar2008

G   Ingenieurmathematik Prüfung 2 8.Januar2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie eine 4x4 Matrix $\mathrm{S}$ an, welche bei Multiplikation von links her $(\mathrm{ S \cdot A })$ alle Zeilen um einen Platz nach unten verschiebt, und die unterste Zeile von A zuoberst wieder einfügt!

1b)

Wie kann man nachweisen, dass die Matrix der reinen Punktspiegelung am Koordinatenursprung (ohne Translation!) in 2D homogenen Koordinaten eine orthogonale Matrix ist?

1c)

Geben Sie die Buchstabengruppe an, mit der ein MATLAB-plot-Befehl an den mit den Eingabevektoren angegebenen Koordinaten grüne Kreise als Marker zeichnet ohne dazwischen die Linie zurchzuziehen!

1d)

Welche Aktion unternimmt man mit der Matrix, wenn man im Gauss-Algorithmus (bzw. der L-R-Zerlegung) festgestellt hat, dass ein Element in derselben Spalte weiter unten sich besser als Pivot-Element eignen würde als das aktuelle Diagonal-Element?

2)

``Quadratische'' Spirale Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $r_0$ der (nicht in eine klassiche Kategorie einzureihenden) Spirale $r(w) = r_0 + a\cdot (w)^2$ aus der Bedingung, dass die Kurve durch die Punkte $(0.5 / 0)$ und $(-2.5/0)$ geht.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um zwei ganze Umgänge der Kurve in schwarzer Farbe zu zeichnen und zusätzlich die vorgeschriebenen Punkte durch grüne Diagonalkreuze zu markieren

3)

Spezielle Ebenen in Hesse'scher Normalform Vom Würfel ABCD EFGH mit den Koordinaten $A(-3/0/ 0)$ $B(3/0/ 0)$ $C(3/6/ 0)$ $D(-3/6/ 0)$, $E(-3/0/ 6)$ etc. sind die Ebenengleichungen aller sechs Quadratflächen (ABCD, EFGH; ABFE, DCGH; AEHD, BCGF) in Hesse'scher Normalform gesucht.

4)

Homogene Koordinatentransformation in 2D Spiegeln Sie das Dreieck ABC $A=(0/ -10)$ $B =(-2/ -10)$ $C= (-2/ -8)$ zuerst an der Geraden x = 4 und anschliesend die so gespiegelte Figur an der Geraden y = 0. Geben Sie Sie dazu alle Teil-Transformationsmatrizen in homogenen Koordinaten der Ebene an, und die Gesamt-Transformations-Matrix, sowie die Koordinaten der Bildfigur nach der zweiten Spiegelung.

5)

Polynom-Approximation der Cosinus-Funktion Im Bereich von -pi/4 bis +pi/4 soll die Cosinus-Funktion durch eine Parabel (Polynom 2. Grades) angenähert werden. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit welchem die besten Polynom-Koeffizienten nach folgendem Prinzip berechnet werden könnten: Neun Punkte mit gleichmässig verteilten x-Werten zwischen $w_1 = -pi/4$ und $w_9 = pi/4$ und den zugehörigen cosinus-Werten als $y_k$-Werten sollen die Parabel bestimmen.

6)

Optimierung mit der Lagrange Multiplikator- Methode Geben Sie das Gleichungssystem an, (ohne dieses zu lösen) für die Optimierung der Zielfunktion $F(x,y,z)$     (beachten Sie die vierte Wurzel!)

$$F(x,y,z) = \sqrt[4]{x^2 + y ^ 2 } +z^2$$

unter der Nebenbedingung

$$z^2 + 8 = x + y$$