WS 07/08 -Lösungen zur Prüfung 2, Y, 8.Januar2008

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 2 8.Januar2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie eine 4x4 Matrix $\mathrm{S}$ an, welche bei Multiplikation von links her $(\mathrm{ S \cdot A })$ alle Zeilen um einen Platz nach unten verschiebt, und zuoberst eine Zeile mit lauter Nullen erzeugt!

L1a)

$\left( \begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)$

1b)

Wie kann man nachweisen, dass die Matrix der reinen Spiegelung an der y-Achse (ohne Translation!) in 2D homogenen Koordinaten eine orthogonale Matrix ist?

L1b)

Das Produkt M'*M ergibt die Einheitsmatrix I. Alle Diagonalelemente sind 1 oder minus 1, beides gibt quadriert plus 1.

1c)

Geben Sie die Buchstabengruppe an, mit der ein MATLAB-plot-Befehl sowohl eine durchgezogene schwarze Linie als auch schwarze stehende Kreuze als Marker zeichnet!

L1c

plot(x,y,'k-+')

1d)

Wieso ist die Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemnen nach der Kramerschen Regel für grosse Gleichungssysteme nicht zu empfehlen?

L1d

Weil der Rechenaufwand im Vergleich zu den gebräuchlichen Algorithmen, wie z.B. Gauss-Elimination, viel zu stark ansteigt mit steigender Anzahl der Unbekannten.

2)

``Quadratische'' Spirale Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $w_0$ der (nicht in eine klassiche Kategorie einzureihenden) Spirale $r(w) = a\cdot (w - w_0)^2$ aus der Bedingung, dass die Kurve durch die Punkte $(0.2 / 0)$ und $(-3.2/0)$ geht.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um zwei ganze Umgänge der Kurve in schwarzer Farbe zu zeichnen und zusätzlich die vorgeschriebenen Punkte durch rote Ringe zu markkieren

L2)

% fuer w = 0 ist r = 0.2 
  r0 = 0.2
%  fuer w = pi ist r = 3.2
%  a*w*w ist also 3  
  a = 3/pi^2
w = (0:0.01:2)*2*pi
r = r0+ a*w.^2
polar(w,r,'k')
hold on
plot([0.2 -3.2] , [0 0], 'ro')
hold off

3)

Spezielle Ebenen in Hesse'scher Normalform Vom Würfel ABCD EFGH mit den Koordinaten $A(-1/0/ 0)$ $B(1/0/ 0)$ $C(1/2/ 0)$ $D(-1/2/ 0)$, $E(-1/0/ 2)$ etc. (ABCD, EFGH; ABFE, DCGH; AEHD, BCGF) sind die Ebenengleichungen aller sechs Quadratflächen in Hesse'scher Normalform gesucht.

L3)

ABCD und EFGH sind horizontal, also ist der Normalenvektor in z-Richtung:
Deren Distanzen zum Ursprung (Hoehenpositionen) sind 0 und 2
ABCD :   [ 0 0 1]' * OP = 0   ;  EFGH : [ 0 0 1] * OP - 2= 0;
ABFE und DCGH sind vertikal , parallel zur xz Ebene,
 der Normalenvektor ist in y-Richtung:
Deren Distanzen zum Ursprung  sind 0 und 2
ABFE :   [ 0 1 0]' * OP   = 0   ;  DGCH : [ 0 1 0] * OP - 2 = 0;
AEHD und BCGF sind vertikal , parallel zur yz Ebene
 der Normalenvektor ist in x-Richtung:
Deren Distanzen zum Ursprung  sind -1 und 1
AEHD :   [ 1 0 0]' * OP + 1  = 0   ;  BGCF : [ 1 0 0] * OP - 1 = 0;
% zur Verifikation: immer die Punkte die zur Ebene gehoeren geben Null
%   und selektieren dann den Buchstaben mit logischen Index-Array
W = [ -1 1 1 -1  -1 1 1 -1; 0 0 2 2 0 0 2 2; 0 0 0 0 2 2 2 2] ;
S = 'ABCDEFGH';
ebd = [0 0 1] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 0 1] * W - 2; S(ebd==0) 
ebd = [0 1 0] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 1 0] * W - 2; S(ebd==0)
ebd = [ 1 0 0] * W + 1 ; S(ebd==0) ,  ebd = [1 0 0] * W - 1 ; S(ebd==0)

4)

Homogene Koordinatentransformation in 2D Spiegeln Sie das Dreieck ABC $A=(0/ -8)$ $B =(-4/ -8)$ $C= (-4/ -4)$ zuerst an der Geraden x = 2 und anschliesend die so gespiegelte Figur an der Geraden y = 0. Geben Sie Sie dazu alle Teil-Transformationsmatrizen in homogenen Koordinaten der Ebene an, und die Gesamt-Transformations-Matrix, sowie die Koordinaten der Bildfigur nach der zweiten Spiegelung.

L4)

Dor = [ 0 -4 -4 0; -8 -8 -4 -8; 1 1 1  1]
Sz = [ 1 0 -2; 0 1 0; 0 0 1], Sb = [ 1 0 2; 0 1 0; 0 0 1], 
Myax = [ -1 0 0; 0 1 0; 0 0 1], Mxax = [ 1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1],
Tt = Mxax*Sb*Myax*Sz  % = [ -1 0 4; 0 -1 0; 0 0 1]
Dt = Tt * Dor  %   = [ 4 8 8 4; 8 8 4 8; 1 1 1 1]

5)

Polynom-Approximation der Cosinus-Funktion Im Bereich von -pi/4 bis +pi/4 soll die Cosinus-Funktion durch eine Parabel (Polynom 2. Grades) angenähert werden. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit welchem die besten Polynom-Koeffizienten nach folgendem Prinzip berechnet werden könnten: Sieben Punkte mit gleichmässig verteilten x-Werten zwischen $w_1 = -pi/4$ und $w_7 = pi/4$ und den zugehörigen cosinus-Werten als $y_k$-Werten sollen die Parabel bestimmen.

L5)

xf = linspace(-pi/4, pi/4, 7)
yf = cos(xf)
A = [xf.^2; xf; ones(1,7)]' ; p = A\yf'
xc = -pi/4:0.01:pi/4
yc = p(1)*xc.^2 + p(2)*xc + p(3)
plot(xc,yc) ; hold on
plot(xf,yf,'ro'); hold off

6)

Optimierung mit der Lagrange Multiplikator- Methode Geben Sie das Gleichungssystem an, (ohne dieses zu lösen) für die Optimierung der Zielfunktion $F(x,y,z)$     (beachten Sie die vierte Wurzel!)

$$F(x,y,z) = \sqrt[4]{x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 4}$$

unter der Nebenbedingung

$$x^2 + 10 = y + z$$

L6)

syms x y z w
L = (x^2 + y^2+ z^4)^(1/4)  + w*(-z-y+x^2 +10 )
diff(L,x)
% 1/2/(x^2+y^2+z^4)^(3/4)*x+2*w*x 
diff(L,y)
% 1/2/(x^2+y^2+z^4)^(3/4)*y-w
diff(L,z)
% 1/(x^2+y^2+z^4)^(3/4)*z^3-w
 diff(L,w)
% -z-y+x^2+10