FS 08 - Prüfung 1, G, 8. April 2008

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 8.April2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie einen Vektor zv (eine Folge) von komplexen Zahlen an, so dass plot(zv); axis equal ein auf der Spitze stehendes Quadrat mit der Seitenlänge 4 zeichnet.

1b)

Bestimmen Sie die Zahlen n und m, so dass die folgendende Matrixmultiplikation legal ist: A(4xn)*B(5x3)*C(3x7)*D(mx2)

1c)

Geben Sie eine 3x3 Turm-Matrix an, für welche gilt $T^3 = I$ (I = Einheitsmatrix)

1d)

Beschreiben Sie wie man die Matrix $G =(E\cdot F)^{-1}$ berechnet, aus der Angabe dass E = [1 0 0; 0.5 1 0; 0 0 1] und F = [1 0 0; 0 1 0; 0 -0.4 1] gilt.

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!

$${ \left( \begin{array}{rrrrr} e_5 & 0 & e_2 & 0 & e_3 \\ 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen $z_k$ der Gleichung

$$(z-1)^4 +4 = 0$$

4)

Gegeben ist der Quader $A(-2/0/0)$ $B(-2/4/0)$ $C(4/4/0)$ $D(4/0/0)$ $E(-2/0/2)$ $F(-2/4/2)$ $G(4/4/2)$ $H(4/0/2)$. Berechnen Sie die Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren AC und AG , sowie $\beta$ zwischen AH und AG

5)

Bestimmen Sie die Parameterdarstellungen der beiden Schraubenlinien (eine rechts- und eine links-Schraube) die beide im Punkt $0/0/0$ starten, durch die durch die Punkte $(0/1/1)$ $(0/0/2)$ und $(0/1/3)$ gehen und beim Punkt $(0/0/4)$ enden. Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um die rechts-Schraube grün, die links-Schraube blau und die angegebenen Punkte als schwarze Diagonalkreuze zu zeichnen.

6)

Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das Rechteck ABCD ($A(3/2)$,$B(3/10)$,$C(5/10)$, $D(5/2)$,) um $-90^{\mathrm{o}}$  um seinen Mittelpunkt dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Rechtecks an.