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FS 08 - Prüfung 2, R-G-B-Y, 20. Mai 2008

R   Ingenieurmathematik Prüfung 2 20. Mai 2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wie nennt man eine Matrix für welche gilt:
$\displaystyle{ \mathrm{A^{-1}} ~=~ \mathrm{A^T}}$ ?

1b)
Wieviele Nullen darf eine nxn Diagonalmatrix höchstens enthalten wenn sie regulär sein soll?

1c)
Geben Sie eine 4x4 Turm-Matrix an, welche bei Multiplikation von links die zweite und vierte Zeile der rechts stehenden Matrix vertauscht.

1d)
Welche Wirkung hat die fest vorgeschriebene unterste Zeile mit den Werten $0,~0,~1$ in der Matrix der 2D homogenen Koordinatentransformation auf die zu transformierenden Vektoren?



2)
Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit dem ein reguläres 19-Eck mit Umkreisradius 4 in roter Farbe gezeichnet wird, das eine Ecke auf der positiven y-Achse hat. Zeichnen Sie in dasselbe Bild die beiden Koordinatenachsen in schwarzer Farbe ein.



3)
Durch die komplexe Funktion $\displaystyle{z(t) = -0.7 \cdot \exp(j\cdot t) + t ,~~~t=0 \ldots 4 \pi}$ werden zwei Perioden einer gestreckten Zykloide definiert. Bestimmen Sie die komplexen z-Werte der (je zwei) Punkte mit den grössten und den kleinsten Werten der Imaginärteile!



4)
Als Grundlage dient der reguläre Oktaeder $A(8/0/0)$ $B(0/8/0)$ $C(-8/0/0)$ $D(0/-8/0)$ $K(0/0/-8)$ (Keller) $ S(0/0/8)$ (Spitze). Geben Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen Normalform an für die Ebene durch die Punkte A, MBS, MDS, wobei MBS der Mittelpunkt der Streck BS ist und MDS derjenige der Strecke DS. Berechnen Sie zusätzlich den Neigungswinkel dieser Ebene gegenüber der Horizontalen und den Abstand des Punktes S von dieser Ebene!



5)
Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das Rechteck ABCD ($A(1/4)$,$B(3/4)$,$C(3/8)$, $D(1/8)$,) um $180^{\mathrm{o}}$  um den Mittelpunkt der Strecke AB dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Rechtecks an.



6)
Beschreiben Sie das MATLAB-Skript zur 3D masstäblichen Konturlinien-Darstellung der speziellen ``bicubic spline'' Interpolationsfunktion:
$\displaystyle{S(x,y) = (2\cdot x^3 - 3 \cdot x^2 +1) \cdot
(2\cdot y^3 - 3 \cdot y^2 + 1) }$, definiert im Bereich
$0 \leq x \leq 1$ ;   $0 \leq y \leq 1$


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2012-03-21