- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Wie nennt man eine Matrix bei welcher die beiden Matrizen
und
identische Dimensionszahlen haben ?
- L1a)
- quadratisch
- 1b)
- Wieviele Nullen darf eine nxn Eliminationsmatrix höchstens
enthalten wenn am Ort an dem eine Null erzeugt werden soll noch keine
Null steht?
- L1b)
- n*n-n-1, alle Diagonalelemente Eins, Eliminationsfaktor
verschieden von Null
- 1c)
- Geben Sie eine 4x4 Turm-Matrix an, welche bei Multiplikation
von links die erste und letzte Zeile der rechts stehenden Matrix vertauscht.
- L1c)
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
- 1d)
- Welche Wirkung hat die fest vorgeschriebene unterste Zeile mit den Werten
in der Matrix der 2D homogenen Koordinatentransformation
auf die zu transformierenden Vektoren?
- L1d)
- Damit wird erreicht, dass jeder transformierte Vektor
wieder zuunterst eine Eins aufweist und daher weiter transformiert werden kann.
- 2)
- Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit dem ein reguläres 11-Eck mit
Umkreisradius 5 in blauer Farbe
gezeichnet wird, das eine Ecke auf der positiven y-Achse hat.
Zeichnen Sie in dasselbe Bild die beiden Koordinatenachsen in roter
Farbe ein.
- L2)
w = pi/2 + ( 0:2*pi/11:2*pi)
x = 5*cos(w); y = 5*sin(w);
plot(x,y,'b'); axis equal; hold on
plot([-6 6],[0 0],'r');
plot([0 0], [-6 6],'r'); hold off
- 3)
- Durch die komplexe Funktion
werden zwei Perioden einer gestreckten Zykloide definiert.
Bestimmen Sie die komplexen Werte der (je zwei) Punkte mit den
grössten und den kleinsten Werten der Imaginärteile!
- L3)
- Der rein reelle Zusatz ``+t'' ändert am Imaginärteil nichts.
Die Funktion exp(j*t) (Einheitskreis) hat ihr Maximum j bei pi/2 (+2*pi)
und ihr Minimum -j bei 3*pi/2 (+2*pi). Also sind die Maximalpunkte bei
pi/2 + 0.8*j und 5*pi/2 + 0.8*j und die Minimalpunkte bei
3*pi/2 - 0.8*j und 7*pi/2 - 0.8*j.
t = 0:pi/40:4*pi
z = 0.8*exp(j*t)+ t; plot(z); hold on; axis equal
plot([ pi/2+0.8*j 5*pi/2+0.8*j ],'og')
plot([3*pi/2-0.8*j 7*pi/2-0.8*j ],'or')
hold off
- 4)
- Als Grundlage dient der
reguläre Oktaeder
(Keller) (Spitze).
Geben Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen
Normalform an für die Ebene durch die Punkte C MBS, MDS, wobei
MBS der Mittelpunkt der Streck BS ist und MDS derjenige der Strecke DS.
Berechnen Sie zusätzlich die Neigung dieser Ebene gegenüber der
Horizontalen und den Abstand des Punktes S von dieser Ebene!
- L4)
C = [-8 0 0]'; B = [0 8 0]'; D = [0 -8 0]'; S = [0 0 8]';
MBS = (B+S)/2 , MDS = (D+S)/2 % MBS = [0 4 4]; MDS = [0 -4 4];
n = cross(MDS-C, MBS-C), en = n/norm(n) % n = [-8 0 16]', en = [-0.4472 0 0.8944]'
dkrit = en'*C % dkrit = 3.5777
% en'* OP - en'* OV = en'* OP - dkrit = [-0.4472 0 0.8944]*OP - 3.5777 = 0
distS = en'*S - dkrit % distS = 3.5777 (= dkrit Symmetrie!)
eup = [0 0 1]', w = acos(eup'*en), wg = w*180/pi % w = 0.4636 ; wg = 26.56 Grd
- 5)
- Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix
an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche
das Rechteck ABCD (,,, ,)
um
um den Mittelpunkt der Strecke AD dreht.
Geben Sie auch die Ecken des
transformierten Rechtecks an.
- L5
Rur = [4 8 8 4 4; 1 1 3 3 1; 1 1 1 1 1];
Tz = [1 0 -4; 0 1 -2; 0 0 1]
M = [-1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
Tb = [1 0 4; 0 1 2; 0 0 1]
TT = Tb*M*Tz % = [1 0 8; 0 1 4; 0 0 1]
Rtr = TT*Rur % =[4 0 0 4 4; 3 3 1 1 3; 1 1 1 1 1]
plot(Rur(1,:),Rur( 2,:)); hold on; axis equal
plot(Rtr(1,:),Rtr( 2,:)); hold off
- 6)
- Beschreiben Sie das MATLAB-Skript zur 3D masstäblichen
Konturlinien-Darstellung der
speziellen ``bicubic spline'' Interpolationsfunktion:
, definiert im Bereich
- L6)
x = 0:0.02:1; y = x; [xg,yg] = meshgrid(x,y);
f = (-2*xg.^3 + 3*xg.^2 ) .* (-2*yg.^3 + 3*yg.^2 ) ;
contour3(xg,yg,f,30); axis equal