HS08 - Lösungen zur Prüfung 1, B, 18.November2008

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 18.November2008

Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wie heissen die zwei Haupt-Teile der Lösung eines linearen Gleichungs-Sytems mit dem Gauss-Algorithmus und welcher Teil braucht den geringeren Rechenaufwand.

L 1a)

Dreieckstransformation (= eigentliche Gauss-Elimination) und rückwärts Einsetzen. Das 2. braucht viel weniger Aufwand $O(n^2)$ gegen $O(n^3)$ für Gauss.

1b)

Wie erreicht man, dass in MATLAB die nachfolgenden plot-Aufrufe in dasselbe Zeichenfeld eingefügt werden?

L 1b)

hold on

1c)

Wieviele Nullen muss eine antisymmetrische Matrix der Dimension nxn mindestens enthalten?

L 1c)

n, auf der Diagonalen

1d)

Für welche Werte von n gibt es mindestens eine relle Lösung der Gleichung $z^n+4=0$ ?

L 1d)

für ungerade n

2)

Schreiben Sie ein MATLAB-Skript, welches alle Lösungen der komplexen Gleichung

$$z^4 + 16~j = 0$$

als rote Kreise einzeichnet, und dazu in der gleichen Figur in schwarzer Farbe den Kreis zeichnet, auf dem diese Lösungen alle liegen.

L 2)

zs = 2*[ exp(j*(3*pi/8)) exp(j*(7*pi/8)) exp(j*(11*pi/8)) exp(j*(15*pi/8))]
t = (0:0.01:1)*2*pi;
plot(zs,'ro') ; hold on; plot( 2*exp(j*t), 'k'); hold off;
axis equal

3)

Das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck A=[8 4]', B=[8 -4]', C=[4 0]' soll um den Mittelpunkt seiner Hypotenuse um den Winkel 180 Grad gedreht werden. Geben Sie die Matrizen der Teiltransformationen in homogenen Koordinaten der Ebene an und die Gesamt-Transformationsmatrix, sowie die Eck-Koordinaten des Bildes.

L 3)

A = [8; 4; 1]; B = [ 8; -4; 1]; C = [4; 0; 1];
lin = [ A B C A];
M = A+B/2;  % = [8 ; 0] 
Tz = [ 1 0 -8; 0 1  0; 0 0 1]
R =  [ -1 0 0; -0 -1 0; 0 0 1]
Tb = [ 1 0 8; 0 1 0; 0 0 1]
Tt = Tb*R*Tz    % = R =  [ -1 0 16; 0 -1 0; 0 0 1]
lint = Tt*lin   
plot(lin(1,:), lin(2,:)); hold on ;
plot(lint(1,:), lint(2,:),'r'); axis equal; hold off

4)

Im regulären Oktaeder ABCDSK ( A=[ 0; -4; 0], B=[ 4; 0; 0], C=[ 0; 4; 0], D=[-4; 0; 0], S=[0; 0; 4], K=[0; 0; -4] , ABCD in Mittelebene, S = Spitze,K = Keller) wird eine Ebene durch die 4 Punkte A,B, MC und MD gelegt, wobei MC der Mittelpunkt der Strecke CS ist und MD der Mittelpunkt der Strecke DS. Bestimmen Sie die Hesse'sche Normalform dieser Ebene und berechnen Sie die Abstände der beiden Punkte S und Z=(0/0/0) von dieser Ebene.

L 4)

A=[ 0; -4; 0]; B=[ 4; 0; 0]; 
C=[ 0;  4; 0]; D=[-4; 0; 0]; 
S=[ 0;  0; 4]; K=[ 0; 0; -4];
lin = [A S C K A B S D K B C D A];
plot3(lin(1,:), lin(2,:), lin(3,:)); axis equal
hold on
MC = (C+S)/2; MD = (D+S)/2; leb = [A B MC MD C];
plot3(leb(1,:), leb(2,:), leb(3,:),'r');
hold off
v = B-A , w = MC-A 
N = cross(v,w) ; en = N/norm(N)
dk = en'*A       %  Abstand 0/0/0 = -dk
dkt = en'*MD -dk %  = Test ob 4. Punkt auf gleicher Ebene
ds = en'*S -dk

5)

Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der linksgängigen Schraubenlinie einer Drosselspule mit Radius 20 cm, Ganghöhe 2cm und Gesamthöhe 50 cm. Die Achse verläuft entlang der z-Achse, der Startpunkt ist bei (20/0/0) und der Endpunkt bei (20/0/50). Geben Sie die MATLAB-Befehle an für das Zeichnen dieser Schraubenlinie.

L 5)

R = 20 ; h = 2; Zmax = 50;
nturn = Zmax/h
t = (0:0.01:nturn)*2*pi;
x = R*cos(t) ; y = -R*sin(t); z = t*h/(2*pi);
plot3(x,y,z) ; axis equal; hold on
plot3(20, 0, 0,'ro'); plot3(20, 0, 50,'ro'); hold off

6)

Geben Sie die Formeln an für die ersten drei unbekannten Werte, die beim Rückwärts-Einsetzen in einer bekannten Matrix R der Dimension 5x5 und dem mit-transformierten Vektor bt ausgewertet werden. (Das Rückwärts-Einsetzen dient der Bestimmung von x aus R*x = bt nach erfolgter Transformation Rechts-Dreiecksform.

L 6)

$x_5 = bt_5/R_{55}$
$x_4 = (bt_4 - R_{45} \cdot x_5)/R_{44}$
$x_3 = (bt_3 - R_{34} \cdot x_4 - R_{35} \cdot x_5)/R_{33}$