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HS 09/10 - Lösung zur Prüfung 1, R-G-B-Y, 17. Nov. 2009

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 17.Nov.2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wieviele Nullen hat eine antisymmetrische Matrix der Dimension nxn mindestens?

L1a)
n Nullen auf der Diagonalen

1b)
Wie lautet die Gleichung, mit der das erste Element beim Rückwärts-Einsetzen in einer 5x5 Matrix bestimmt wird? (d.h. Ergänzen Sie $x_? = ??? $)

L1b)
$x_5 = b_5 / r_{55}$

1c)
Bestimmen Sie die die Inverse der Matrix $\displaystyle{
A = \left(
\begin{array}{rrr}
\sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 & 0\\
\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
}$ mit Hilfe der Angabe dass die Matrix A orthogonal ist.

L1c)
$\displaystyle{
A^{(-1)}= A^T = \left(
\begin{array}{rrr}
\sqrt{2}/2 & \sqrt{...
...& 0\\
-\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
}$

1d)
Mit welchen MATLAB Befehlen erreicht man, dass die Grafik in einem quadratischen Feld gezeichnet wird und dabei die dargestellten x-Werte zwischen -2 und 2 und die y-Werte zwischen 0 und 4 variieren?

L1d)
axis([-2 2 0 4]) ; axis square

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrrr}
0 & 0 & b_2 & b_1 & b_4 \\
0...
..._2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}
\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

L2)
$\displaystyle{
Pl = \left(
\begin{array}{rrrrr}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 ...
... & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)
}$

3)
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, mit denen ein Vektor v aus komplexen Zahlen erzeugt wird, welcher beim Aufruf plot(v); axis equal ein reguläres Achteck zeichnet, das im Kreis um $(0/0)$ mit dem Radius 5 einbeschrieben ist. Geben Sie auch die MATLAB-Befehle an zum Zeichnen des zugehörigen Umkreises.

L3)
 k = 0:8; w = 2*pi/8*k
 z8 = 5*exp(i*w)
plot(z8)
hold on
axis equal
t = (0:0.05:1)*2*pi;
kr = 5*exp(i*t);
plot(kr,'k')
hold off

4)
Gegeben ist ein Keil mit der Grundfläche ABCD und der Oberkante EF durch $A(0/0/0)$, $ B(-12/0/0)$ , $C(-12/6/0)$, $ D(0/6/0)$ und $E(0/0/5)$, $F(0/6/5)$ .
Bestimmen Sie je die Ebenengleichung der Deckfläche und der Grundfläche in der Hesse'schen Normalform, sowie die Neigung der Deckfläche!

L4)
Grundfläche trivial: en = [0;0;1], dkrit = 0 (horizontale Ebene durch Koordinatenursprung)
Deckfläche u = B-E = [-12 0 -5]' v = C-E = [-12 6 -5]'
N = cross(u,v) = [30 0 -72] norm(N) = 78
en = N/norm(N) = [0.3846 0 -0.9231]' dkrit = 4.6154 Neigungswinkel mit zwei Einheitsvektoren ist direkt acos(en1'*en2) = 0.3948 entspricht 22.62 Grad

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Quadrat ABCD mit den Ecken $ A =(0/0)$, $B=(-5/5)$, $C=(-10/0)$, $D=(-5/-5)$ um $-90^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinn) um seinen Mittelpunkt dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten ÃBCD.
Geben Sie auch ein MATLAB-Skript an, das diese Transformation in homogenen Koordinaten durchführt und das Urbild und Bild in eine gemeinsame Grafik einzeichnet.

L5)
Qo = [0 -5 -10 -5 0; 0 5 0 -5 0; 1 1 1 1 1];
%  Mittelpunkt quadrat ist A+B+C+D/4  =[ -4 0]'
Tz = [ 1  0  5; 0 1 0; 0 0 1]
R = [0 1 0 ; -1 0 0; 0 0 1]
Tb = [ 1  0 -5; 0 1 0; 0 0 1]
Ttot = Tb*R*Tz
Qt = Ttot*Qo
plot(Qo(1,:),Qo(2,:),'g') 
hold on 
plot(Qt(1,:),Qt(2,:),'ro')
axis equal ;  hold off

6)
Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien-Stücke mit Achse auf der z-Achse, welche beide im Punkt $(0/-5/0)$ starten, und im Punkt $(0/5/2)$ enden und dazwischen je eine halbe Umdrechung ausführen. Eines der Schraubenlinien-Stücke soll linksdrehend, das andere rechtsdrehend sein.
Schreiben Sie ein MATLAB-Skript zur simultanen Darstellung der beiden Kurvenstücke!

L6)
t = (0:0.05:1)*pi  % eine halbe Drehung
%  Vorschub ist 2 pro halbe Drehung, also ist g = 4
g = 4
z = t*g/(2*pi);  % gleiches z fuer beide
%  Winkel 0 ist bei 0 -5, also R = 5
R = 5
%  Vorschub nach oben, also Gegenuhrzeiger in x-y Ebene ist rechtsdrehend
xr = R*sin(t); yr = -R*cos(t);
%  Uhrzeigersinn in x-y Ebene ist linksdrehend
xl = -R*sin(t); yl = -R*cos(t);
plot3(xr,yr,z) ; hold on; plot3(xl,yl,z,'r')
axis equal


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