- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Wieviele Nullen hat eine antisymmetrische Matrix der Dimension nxn
mindestens?
- L1a)
- n Nullen auf der Diagonalen
- 1b)
- Wie lautet die Gleichung, mit der das erste Element beim Rückwärts-Einsetzen
in einer 5x5 Matrix bestimmt wird? (d.h. Ergänzen Sie )
- L1b)
-
- 1c)
- Bestimmen Sie die die Inverse der Matrix
mit Hilfe der Angabe dass die Matrix A orthogonal ist.
- L1c)
-
- 1d)
- Mit welchen MATLAB Befehlen erreicht man, dass die Grafik
in einem quadratischen Feld gezeichnet wird und dabei
die dargestellten x-Werte zwischen -2 und 2 und die y-Werte zwischen 0 und 4
variieren?
- L1d)
axis([-2 2 0 4]) ; axis square
- 2)
- Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen und , so dass
die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
- L2)
-
- 3)
- Geben Sie die MATLAB-Befehle an, mit denen ein Vektor
v
aus
komplexen Zahlen erzeugt wird, welcher beim Aufruf
plot(v); axis equal
ein reguläres Achteck zeichnet,
das im Kreis um mit dem
Radius 5 einbeschrieben ist.
Geben Sie auch die MATLAB-Befehle an zum Zeichnen des zugehörigen Umkreises.
- L3)
k = 0:8; w = 2*pi/8*k
z8 = 5*exp(i*w)
plot(z8)
hold on
axis equal
t = (0:0.05:1)*2*pi;
kr = 5*exp(i*t);
plot(kr,'k')
hold off
- 4)
- Gegeben ist ein Keil mit der Grundfläche ABCD und der Oberkante EF
durch , ,
, und
, .
Bestimmen Sie je die Ebenengleichung der Deckfläche und der Grundfläche
in der Hesse'schen Normalform, sowie die Neigung der Deckfläche!
- L4)
- Grundfläche trivial:
en = [0;0;1]
, dkrit = 0
(horizontale Ebene durch Koordinatenursprung)
Deckfläche u = B-E = [-12 0 -5]'
v = C-E = [-12 6 -5]'
N = cross(u,v) = [30 0 -72]
norm(N) = 78
en = N/norm(N) = [0.3846 0 -0.9231]'
dkrit = 4.6154
Neigungswinkel mit zwei Einheitsvektoren ist direkt
acos(en1'*en2) = 0.3948
entspricht 22.62 Grad
- 5)
- Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen
und die Gesamt-Transformations-Matrix,
in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Quadrat ABCD
mit den Ecken
, , , um
(im
Uhrzeigersinn) um seinen Mittelpunkt dreht. Bestimmen Sie auch die
gedrehten Koordinaten ÃBCD.
Geben Sie auch ein MATLAB-Skript an, das diese Transformation in
homogenen Koordinaten durchführt und das Urbild und Bild in eine
gemeinsame Grafik einzeichnet.
- L5)
Qo = [0 -5 -10 -5 0; 0 5 0 -5 0; 1 1 1 1 1];
% Mittelpunkt quadrat ist A+B+C+D/4 =[ -4 0]'
Tz = [ 1 0 5; 0 1 0; 0 0 1]
R = [0 1 0 ; -1 0 0; 0 0 1]
Tb = [ 1 0 -5; 0 1 0; 0 0 1]
Ttot = Tb*R*Tz
Qt = Ttot*Qo
plot(Qo(1,:),Qo(2,:),'g')
hold on
plot(Qt(1,:),Qt(2,:),'ro')
axis equal ; hold off
- 6)
- Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien-Stücke mit Achse auf der
z-Achse, welche
beide im Punkt starten, und im Punkt enden und dazwischen
je eine halbe Umdrechung ausführen.
Eines der Schraubenlinien-Stücke
soll linksdrehend, das andere rechtsdrehend sein.
Schreiben Sie ein MATLAB-Skript zur simultanen
Darstellung der beiden Kurvenstücke!
- L6)
t = (0:0.05:1)*pi % eine halbe Drehung
% Vorschub ist 2 pro halbe Drehung, also ist g = 4
g = 4
z = t*g/(2*pi); % gleiches z fuer beide
% Winkel 0 ist bei 0 -5, also R = 5
R = 5
% Vorschub nach oben, also Gegenuhrzeiger in x-y Ebene ist rechtsdrehend
xr = R*sin(t); yr = -R*cos(t);
% Uhrzeigersinn in x-y Ebene ist linksdrehend
xl = -R*sin(t); yl = -R*cos(t);
plot3(xr,yr,z) ; hold on; plot3(xl,yl,z,'r')
axis equal