HS 09/10 - Prüfung 2, G, 8. Dez. 2009

G   Ingenieurmathematik Prüfung 2 8.Dez.2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Auf welchen Matrizen-Typ wird die Methode des Vorwärts-Einsetzens angewandt?

1b)

Nennen Sie zwei MATLAB Bibliotheksprozeduren, die beide zur grafischen Darstellung von Funktionen von zwei Variablen dienen!

1c)

Bestimmen Sie den Parameter a im Vektor v so dass die beiden Vektoren u und v zueinander orthogonal sind.
u = [1;2;3] v = [3;2;a]

1d)

Bestimmen Sie die am einfachsten auszuwertende Formel, um die Werte der Matrix $${P = (A \cdot B)^{-1}}$$ zu erhalten, wenn man weiss, dass sowohl $A$ als auch $B$ beide orthogonal sind.

2)

Bestimmen Sie alle Elemente des komplexen Vektors z so dass mit dem einfachen Befehl plot(z) vier vom Nullpunkt ausgehende Strahlen gezeichnet werden. Die Strahlen sollen gleiche Winkel-Abstände aufweisen und gleiche Länge haben. Der erste Strahl zeigt von $z_1=0$ nach $z_2 = 2+2i$. Der vierte Strahl zeigt von $z_{(n-1)}=0$ nach $z_n = -2+2i$.
Die komplexen Zahlen in diesem Vektor müssen einzeln angegeben werden, allerdings ist dabei auch die Euler'sche Form erlaubt.

3)

Das räumliche Dreieck ABC durch $A(0/0/3.2)$, $B(4/0/0)$ , $C(0/3/0)$ wird durch die Abbildung mit der Matrix Mxz = [1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1] an der x-z-Ebene gespiegelt.
Berechnen Sie die Neigung der Ebene ABC gegenüber der Horizontalen (= x-y-Ebene), sowie den Winkel zwischen der Ebene ABC und der zugehörigen gespiegelten Ebene.
Alle Resultate müssen als Zahlenwerte berechnet und angegeben werden, reine Formeln geben in diesem Fall keine Punkte!

4)

In einem Würfel ABCD EFGH mit den Ecken
$A({-4}/{-4}/0)$, $B(4/{-4}/0)$ , $C(4/4/0)$, $D({-4}/4/0)$,
$E({-4}/{-4}/8)$, $F(4/{-4}/8)$ , $G(4/4/8)$, $H({-4}/4/8)$ ist die Ebene durch BDHF in der Hesse'schen Normalform gesucht. Dieses Resultat soll anschliessend dazu benutzt werden, um in dieser Ebene den Durchstosspunkt der Geraden zu berechnen, welche den Punkt A mit dem Mittelpunkt der Kante CG verbindet. Die Resultate müssen in konkreten Zahlen angegeben werden!

5)

Geben Sie die Normalengleichungen an, mit denen die beste Gerade durch die drei Punkte $(x_k/y_k) = ({-1}/2),~(0/1),~ (1~/~p)$ berechnet werden kann! Der Wert $p$ für $y_3$ ist ein allgemeiner Parameter, der in den Normalengleichungen auftreten muss. Es ist nur das Gleichungssystem anzugeben, dieses kann ja gar nicht leicht gelöst werden wegen dem darin enthaltenen Parameter.

6)

Bestimmen Sie die Lagrange Funktion und das Gleichungssystem mit den partiellen Ableitungen für das Optimierungs-Problem
$${Z(x,y,z) = 3x^2 + 5y^4 + z^6 ~ \rightarrow \mathrm{min}}$$
unter den Nebenbedingungen
$${ 3x + y - 2z = 7}$$
Es ist nur das Gleichungssystem anzugeben, dieses muss jedoch nicht gelöst werden.