FS 10 - Prüfung 1, R-G-B-Y, 11. Mai 2010

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 11.Mai2010
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wie nennt man eine Matrix für welche gilt: $A^T - A = Zero$ (Nullmatrix) ?

1b)

Geben Sie jeweils die konjugiert komplexe Zahl an zu den beiden Zahlen
$z_1 = -5 -2i$,   $z_2 = 4 * \exp(i*\pi/5)$

1c)

Wie erreicht man in MATLAB, dass die mit plot gezeichneten Punkte mit schwarzen Sternchen markiert und auch durch eine schwarze Linie verbunden werden?

1d)

Geben Sie die MATLAB - Befehle an zum Zeichnen eines räumlichen Dreiecks als geschlossene Figur, nachdem die Ecken mit dem Befehlen
A=[4 0 0]' ; B=[0 6 0]' ; C=[0 0 3]' ;
bereits definiert wurden.

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & b_2 & b_3 & b_5 \\ 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

3)

Zwei Schraubenlinien starten beide im Punkt $(0/0/0)$ und enden beide im Punkt $(0/0/3)$. Beide haben 3 Umgänge und gehen daher auch noch durch die Punkte $(0/0/1)$ und $(0/0/2)$.
Die rechtsdrehende Schraubenlinie hat ihre in z-Richtung verlaufende Achse bei $x=0$, $y=2$. Die linksdrehende Schraubenlinie hat ihre in z-Richtung verlaufende Achse bei $x=0$, $y=-2$.
Bestimmen Sie die Parameter dieser beiden Schraubenlinien und geben Sie ein MATLAB-Skript an, für die 3D Darstellung dieser beiden Linen in einem Bild.

4)

Durch die Mittelpunkte der von A ausgehenden Kanten eines Quaders ABCD EFGH
$A=(0/0/0)$ $B=(6/0/0)$ $D=(0/4/0)$ $E=(0/0/4)$ etc., (also durch MAB, MAD und MAE) wird eine Ebene g gelegt.
Bestimmen Sie diese Ebene in der Hesse'schen Normalform (d.h. durch Angabe des Normalen-Einheitsvektors en und der Test-Distanz dkrit).
Bestimmen Sie auch die zu g parallele Ebene, welche durch A geht.

5)

Geben Sie eine MATLAB Funktion an, welche für eine L-Matrix mit fester Dimension 3x3 und einen Vektor b der Dimension 3x1 den Algorithmus des Vorwärts-Einsetzens löst, der also y bestimmt aus L*y = b , ohne von Schleifenkonstruktionen Gebrauch zu machen.

6)

Geben Sie alle Lösungen $z_k$ der Gleichung $z^4 = -81$ und bestimmen Sie auch noch die 4 Zahlen $(z_k)^5$, für die k-Werte $k = 1 ..4$
Bei der Lösung müssen alle Teilschritte angegeben werden, ein reines Schlussresultat wird nicht bewertet!