B
Ingenieurmathematik Prüfung 2
25.Mai2010
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe,
40 Pt. = N.6.
1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
1a)
Wieviele Nullen besitzt eine Rechts-Dreiecksmatrix der Dimension nxn mindestens?
1b)
Geben Sie je die 4. Potenzen (also ) an für die beiden Zahlen:
,
1c)
Wie erreicht man in MATLAB, dass der nachfolgende plot-Aufruf
in dasselbe Bild gezeichnet wird?
1d)
Geben Sie die Inverse zur nebenstehenden Matrix an.
Verwenden Sie dazu die Information , dass A orthogonal ist.
2)
Zur komplexen Zahl
wird die Reihe der aufsteigenden Potenzen gebildet, also , ,
etc.
Welche möglichst tiefe Potenz, also welches möglichst kleine
ergibt
a) eine negative reelle Zahl ,
b) eine positive relle Zahl?
Geben Sie die zu a) und b) gehörenden Zahlen an!
3)
Vom Punkt (0/0/0) aus führt eine Vierteldrehung einer rechtsgängigen
Schraubenlinie mit vertikaler Achse zum Punkt (8/8/2).
Bestimmen Sie die Parameter dieser Schraubenlinie und geben Sie
ein MATLAB-Skript an, mit dem diese Linie gezeichnet wird. Hinweis:
Zeichnen Sie einen Grundriss dieser Figur zur einfacheren Bestimmung der
Achsenposition und des Radius.
4)
Über den Punkten und muss man sich
ein Quadrat ABCD vorstellen, mit AB als eine der Seiten.
Gesucht ist zuerst die Geradengleichung der Trägergeraden zur Seite
AB in Hesse'scher Normalform.
Zusätzlich ist noch die Hesse'sche Normalform gesucht für die
Trägergerade zur Seite CD (Die Punkte C, D müssen dazu nicht bestimmt werden.)
Hinweis: in der Ebene hat der zum Vektor v = [v1 v2]' senkrechte
Vektor w die Komponenten w = [v2 -v1]'.
5)
Geben Sie alle Teil-Transformationsmatrizen, sowie
die Gesamt-Transformationsmatrix in homogenen Koordinaten an für
die Drehung des Rechtecks
ABCD (, , , ) um die Ecke A um
Grad! (ccw)
Bestimmen Sie auch die Koordinaten aller transformierten Ecken!
6)
Zur Funktion von 2 Variablen
und der Nebenbedingung
soll die Lagrange-Optimierungsfunktion
gebildet werden.
Das Gleichungssystem, bei welchem alle 3 partiellen Ableitungen von
Null gesetzt werden ist aufzustellen und die Teile der zugehörigen
Matrizengleichung des linearen Gleichungssystems
(also A und b) sind ebenfalls zu bestimmen.