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HS 20/11 - Lösungen Pr. E1, 16. Nov. 2010

Ingenieurmathematik Prüfung 1 16.Nov.2010
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie den MATLAB-Befehl an, mit dem man einen Zeilenvektor zv3 erzeugt, welcher die gesamte 3. Zeile aus der vorgegebenen 5x5 Matrix M enthält.

L1a)
zv3 = M(3,:)

1b)
Geben Sie jeweils die konjugiert komplexe Zahl an zu den beiden Zahlen
$z_1 = -4 +2 i$,   $z_2 = 8 * \exp(i*4*\pi/5)$

L1b)
$\overline{z}_1 = -4 -2 i$,   $\overline{z}_2 = 8 * \exp(-i*4*\pi/5)$

1c)
Bestimmen Sie den Wert $a$ in der untenstehenden Eliminationsmatrix $E$, so dass $E*A$ eine Rechtsdreiecks-Matrix ist. Geben Sie auch diese Matrix $R=E*A$ an!

\begin{displaymath}
E =
\left(
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
a & 1 \\
\...
...egin{array}{rr}
4 & 2 \\
2 & 5 \\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

L1c)
a = -0.5

\begin{displaymath}
R =
\left(
\begin{array}{rr}
4 & 2 \\
0 & 4 \\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

1d)
Geben Sie zum Vektor v = [1 ; 2] die beiden Produkte (Skalarprodukt) s = v'*v und (dyadisches Produkt) Mv = v*v' an!

L1d)
$
s = 5, ~~ Mv =
\left(
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
2 & 4 \\
\end{array}
\right)
$

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$
\left(
\begin{array}{rrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
a_1 & a_4 & a_2 & a_3...
...e_2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}
\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
$

L2)
$ Pl =
\left(
\begin{array}{rrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & ...
... 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
$

3)
Eine rechtsgängige Schraubenlinie startet im Punkt $(0/0/0)$ und endet im Punkt $(0/0/4)$. Sie hat 2 Umgänge und geht daher auch noch durch den Punkt $(0/0/2)$ , sie geht ebenfalls durch die Punkte $(4/4/1)$, $(4/4/3)$.
Die Achse ist parallel zur z-Achse. Bestimmen Sie die Parameter-Darstellung der Schraubenlinie, insbesondere den Radius und die Achsenposition xc,yc. Achten Sie auf den richtigen Startwinkel, damit die Kurve durch die vorgegebenen Punkte geht!

L3)
t = 0:pi/100:4*pi ; gh = 2;
x = 2*sqrt(2)*cos(t + 5*pi/4) + 2
y = 2*sqrt(2)*sin(t + 5*pi/4) + 2
z = t*gh/(2*pi)
plot3(x,y,z)
axis equal
hold on
plot3([0 0 0 ],[0 0 0],[0 2 4],'ro')
plot3([4 4  ],[4 4 ],[1 3],'mo')
hold off

4)
In Oktaeder NESW-TB (Nord, East, Sued, West, Top, Bottom)
$N=(0/2/0)$, $E=(2/0/0)$, $S=(0/{-2}/0)$, $W=({-2}/0/0)$, $T=(0/0/2)$, $B=(0/0/{-2})$
werden zuerst die Mittelpunkte MST uns MWT der Kanten ST und WT bestimmt. Dann soll die Hesse'sche Normalform der Ebene durch die Punkte E,N, MST bestimmt werden.
Weisen Sie anschliessend durch entsprechende Berechnung nach, dass der Punkt MWT auf derselben Ebene liegt und berechnen Sie auch noch den Abstand des Punktes T von der soeben bestimmten Ebene.

L4)
N = [0 2 0]'; E = [2 0 0]'; S = [0 -2 0]'; 
W = [-2 0 0]'; T = [0 0 2]'; B = [0 0 -2]'; 
MST = (S+T)/2,MWT = (W+T)/2
u = N-E, v = MST - E
No = cross(u,v)
en = No/norm(No)
dkrit = en'*E
dMWT = en'*MWT - dkrit
dT = en'*T -dkrit
Oc = [S T N B S E T W B E N W S];
Cl = [E MST MWT N E]
plot3(Oc(1,:),Oc(2,:),Oc(3,:),'k')
hold on ; axis equal
plot3(Cl(1,:),Cl(2,:),Cl(3,:),'r')
hold off

MST =
     0
    -1
     1
MWT =
    -1
     0
     1
u =
    -2
     2
     0
v =
    -2
    -1
     1
No =
     2
     2
     6
en =
    0.3015
    0.3015
    0.9045
dkrit =
    0.6030
dMWT =
     0
dT =
    1.2060
Cl =
     2     0    -1     0     2
     0    -1     0     2     0
     0     1     1     0     0

5)
Das Quadrat ABCD $A=(4/0)$, $B=(6/0)$, $C=(6/2)$, $D=(4/2)$ soll mit homogener Koordinatentransformation um die Mitte der Kante AB um 180 Grad gedreht werden.
Anschiessend ist das gedrehte Quadrat noch an der x-Achse zu spiegeln.
Geben Sie alle Teil-Transformations-Matrizen fuer diese Abbildungen in homogenen Koordinaten der Ebene an, sowie die Endkoordinaten der Eckpunkte und die Gesamt-Transformationsmatrix dieser Abbildungs-Abfolge.
Es werden in konkreten Zahlenwerten angegebene Matrizen und Vektoren (bzw. Koordinatenpaare) verlangt.

L5)
Qi = [4 6 6 4  ; 0 0 2 2 ; 1 1 1 1 ]
Tz = [1 0 -5; 0 1 0; 0 0 1]
Tb = [1 0  5; 0 1 0; 0 0 1]
R  = [-1 0 0; 0 -1 0 ; 0 0 1]
M = [1 0 0; 0 -1 0 ; 0 0 1]
Ttot = M*Tb*R*Tz
Qz = Tz*Qi
Qzr = R*Qz
Qr = Tb * Qzr
Qf = M*Qr
stdhcaxis
plothclin(Qi,'g') ; plothclin(Qz,'b')
plothclin(Qzr,'m') ; plothclin(Qr,'r')
plothclin(Qf,'k') ; hold off

Qi =
     4     6     6     4
     0     0     2     2
     1     1     1     1
Tz =
     1     0    -5
     0     1     0
     0     0     1
Tb =
     1     0     5
     0     1     0
     0     0     1
R =
    -1     0     0
     0    -1     0
     0     0     1
M =
     1     0     0
     0    -1     0
     0     0     1
Ttot =
    -1     0    10
     0     1     0
     0     0     1
Qz =
    -1     1     1    -1
     0     0     2     2
     1     1     1     1
Qzr =
     1    -1    -1     1
     0     0    -2    -2
     1     1     1     1
Qr =
     6     4     4     6
     0     0    -2    -2
     1     1     1     1
Qf =
     6     4     4     6
     0     0     2     2
     1     1     1     1

6)
Erzeugen Sie mit einem Matlab-Skript einen komplexen Vektor zv, welcher mit plot(zv) ein reguläres Fünfeck zeichnet, das im Einheitskreis einbeschrieben ist.
Finden Sie anschliessend eine Zahl zm, so dass, das mit plot(zm*zv) gezeichnete Fünfeck gegenüber dem ersten um 36 Grad gedreht ist.

L6)
w = (0:5) *2*pi/5
zv = exp(j*w)
plot(zv) ; hold on
zm = exp(j*pi/5)
plot(zm*zv) ; hold on
axis equal


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2012-03-21