HS 10/11 - Lösungen Pr. 1, R-G-B-Y, 18. Nov. 2010

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 18.Nov.2010
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Beim Matrizenprodukt P=A*B*C*D sind die Dimensionen von A (4x4), von B(wx5),
von C (5xu) und von D(3x6). Bestimmen Sie w und u, so dass das Produkt legal ist, und geben Sie die Dimensionen von P an.

L1a)

w = 4, u = 3, P = (4x6)

1b)

Geben Sie zwei komplexe Zahlen z1 und z2 an, so dass eine beliebige Zahl z durch Multiplizieren mit z1 um 120 Grad und mit z2 um 270 Grad in der Gauss'schen Zahlenebene gedreht wird (bei gleichbleibendem Betrag). z1, z2 können in beliebiger Form angegeben werden.

L1b)

z1 = exp(i*2*pi/3), z2 = -i

1c)

Bestimmen Sie den Wert $a$ in der untenstehenden Eliminationsmatrix $E$, so dass $E*A$ eine Rechtsdreiecks-Matrix ist. Geben Sie auch diese Matrix $R=E*A$ an!
$E = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ a & 1 \\ \end{array} \right... ...A = \left( \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

L1c)

a = -1/3

$$R = \left( \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right)$$

1d)

Geben Sie zum Vektor v = [3 ; 1] die beiden Produkte (Skalarprodukt) s = v'*v und (dyadisches Produkt) Mv = v*v' an!

L1d)

$s = 10, ~~ Mv = \left( \begin{array}{rr} 9 & 3 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right)$

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_1 & a... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L2)

$Pl = \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & ... ... 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)$

3)

Eine rechtsgängige Schraubenlinie mit der Achse auf der z-Achse startet im Punkt $({3}/{-3}/0)$ und endet im Punkt $({3}/{-3}/6)$. Sie hat 3 Umgänge und geht daher auch noch durch die Punkte $({3}/{-3}/2)$ und $({3}/{-3}/4)$. Bestimmen Sie die Parameter-Darstellung der Schraubenlinie. Achten Sie auf den richtigen Startwinkel, damit die Kurve durch die vorgegebenen Punkte geht! Bestimmen Sie auch die 3 Punkte, der Schraubenlinie, welche in der yz-Halb-Ebene mit positivem y liegen.

L3)

t = 0:pi/100:6*pi ; gh = 2;
x = 3*sqrt(2)*cos(t - pi/4) + 0
y = 3*sqrt(2)*sin(t - pi/4) + 0
z = t*gh/(2*pi)
plot3(x,y,z)
axis equal
hold on
plot3([3 3 3 3 ],[-3 -3 -3 -3],[0 2 4 6],'ro')
% + yz Ebene bei t-pi/4 = pi/2, also bei t=3*pi/4
xe = 0, ye = 3*sqrt(2), ze = 3*pi/4*gh/(2*pi) % ze = 0.75
plot3([xe,xe,xe],[ye,ye,ye],[ze ze+2 ze+4],'mo')  
hold off

4)

In Oktaeder NESW-TB (Nord, East, Sued, West, Top, Bottom)
$N=(0/4/0)$, $E=(4/0/0)$, $S=(0/{-4}/0)$, $W=({-4}/0/0)$, $T=(0/0/4)$, $B=(0/0/{-4})$
werden zuerst die Mittelpunkte MST und MNT der Kanten ST und NT bestimmt. Dann soll die Hesse'sche Normalform der Ebene durch die Punkte E, MST, MNT bestimmt werden.
Berechnen Sie damit den Abstand der Punkte T, W und $MH = (0/0/2)$ von der soeben bestimmten Ebene.

L4)

N = [0 4 0]'; E = [4 0 0]'; S = [0 -4 0]'; 
W = [-4 0 0]'; T = [0 0 4]'; B = [0 0 -4]'; 
MST = (S+T)/2,MNT = (N+T)/2
u = MNT-E, v = MST - E
No = cross(u,v)
en = No/norm(No)
dkrit = en'*E
dT = en'*T - dkrit
dW = en'*W - dkrit
MH = [0 0 2]'
dMH = en'*MH -dkrit
Oc = [S T N B S E T W B E N W S];
Cl = [E MST MNT  E]
plot3(Oc(1,:),Oc(2,:),Oc(3,:),'k')
hold on ; axis equal
plot3(Cl(1,:),Cl(2,:),Cl(3,:),'r')
hold off
view(12,8)
MST =
     0
    -2
     2
MNT =
     0
     2
     2
u =
    -4
     2
     2
v =
    -4
    -2
     2
No =
     8
     0
    16
en =
    0.4472
         0
    0.8944
dkrit =
    1.7889
dT =
    1.7889
dW =
   -3.5777
MH =
     0
     0
     2
dMH =
     0

5)

Das Quadrat ABCD $A=(2/0)$, $B=(6/0)$, $C=(6/4)$, $D=(2/4)$ soll mit homogener Koordinatentransformation um den Punkt A um 180 Grad gedreht werden.
Anschiessend ist das gedrehte Quadrat noch an der x-Achse zu spiegeln.
Geben Sie alle Teil-Transformations-Matrizen fuer diese Abbildungen in homogenen Koordinaten der Ebene an, sowie die Endkoordinaten der Eckpunkte und die Gesamt-Transformationsmatrix dieser Abbildungs-Abfolge.
Es werden in konkreten Zahlenwerten angegebene Matrizen und Vektoren (bzw. Koordinatenpaare) verlangt.

L5)

Qi = [2 6 6 2  ; 0 0 4 4 ; 1 1 1 1 ]
Tz = [1 0 -2; 0 1 0; 0 0 1]
Tb = [1 0  2; 0 1 0; 0 0 1]
R  = [-1 0 0; 0 -1 0 ; 0 0 1]
M = [1 0 0; 0 -1 0 ; 0 0 1]
Ttot = M*Tb*R*Tz
Qz = Tz*Qi
Qzr = R*Qz
Qr = Tb * Qzr
Qf = M*Qr
stdhcaxis
plothclin(Qi,'g') ; plothclin(Qz,'b')
plothclin(Qzr,'m') ; plothclin(Qr,'r')
plothclin(Qf,'k') ; hold off
Qi =
     2     6     6     2
     0     0     4     4
     1     1     1     1
Tz =
     1     0    -2
     0     1     0
     0     0     1
Tb =
     1     0     2
     0     1     0
     0     0     1
R =
    -1     0     0
     0    -1     0
     0     0     1
M =
     1     0     0
     0    -1     0
     0     0     1
Ttot =
    -1     0     4
     0     1     0
     0     0     1
Qz =
     0     4     4     0
     0     0     4     4
     1     1     1     1
Qzr =
     0    -4    -4     0
     0     0    -4    -4
     1     1     1     1
Qr =
     2    -2    -2     2
     0     0    -4    -4
     1     1     1     1
Qf =
     2    -2    -2     2
     0     0     4     4
     1     1     1     1

6)

Im Würfel ABCD EFGH
$A=(0/0/0)$ $B=(6/0/0)$ $D=(0/6/0)$ $E=(0/0/6)$ etc., soll der der Mittelpunkt MCG der Kante CG berechnet werden und dann die beiden Winkel
a) zwischen den Vektoren B-MCG und B-G und b) zwischen den Vektoren B-MCG und B-H

L6)

 A=[0 0 0]',  B=[6 0 0]', 
 C=[6 6 0]',  D=[0 6 0]',
 E=[0 0 6]',  F=[6 0 6]', 
 G=[6 6 6]',  H=[0 6 6]',
 MCG = (C+G)/2
 uab = MCG - B
 va = G - B
 vb = H - B
 wa = acosd(uab'*va/norm(uab)/norm(va))
 wb = acosd(uab'*vb/norm(uab)/norm(vb))
MCG =
     6
     6
     3
uab =
     0
     6
     3
va =
     0
     6
     6
vb =
    -6
     6
     6
wa =
   18.4349
wb =
   39.2315