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HS 10/11 - Prüfung 2, B, 9. Dez. 2010

B   Ingenieurmathematik Prüfung 2 9.Dez.2010
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie die definierenden Grössen en und dkrit an für die Hesse'sche Normalform der zur x-z-Ebene parallelen Ebene y = 2.

1b)
Geben Sie den vereinfachten Wert in arithmetischer Form an für die Zahl $ z = i^{18}$

1c)
Bestimmen Sie die Inverse $A^{-1}$ der untenstehenden Matrix $A$ unter Verwendung der Angabe, dass die gegebene Matrix orthogonal ist. $
A =
\left(
\begin{array}{rrr}
\sqrt{2}/2 & 0 & -\sqrt{2}/2\\
0 & 1 & 0 \\
\sqrt{2}/2 & 0 & \sqrt{2}/2 \\
\end{array}
\right)
$

1d)
Bestimmen Sie den Paramter q, so dass die beiden Vektoren u = [q ; 4 ; -2], und v = [q ; 1 ; 4] zueinander orthogonal sind.

2)
Unter welchen Winkel treffen die benachbarten Kanten eines pyramidenförmigen Turmdaches bei der Spitze aufeinander, wenn der quadratische Grundriss der unteren Dachkante eine Seitenlänge von 8m hat und die Spitze 7m über der Mitte des Dachkanten-Quadrates liegt?
Hinweis: Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem, in welchem Sie dann die 3D Koordinaten der Kantenvektoren bestimmen können, bevor Sie deren Zwischenwinkel berechnen.

3)
Eine rechtsgängige Schraubenlinie mit der Achse parallel zur z-Achse startet im Punkt $({5}/{5}/0)$ und endet im Punkt $({5}/{5}/4)$. Sie hat 2 Umgänge und geht auch durch die Punkte $({5}/{-5}/1)$ und $({5}/{-5}/3)$. Bestimmen Sie aus der Grundriss-Zeichnung die Achsenposition, den Radius und den Startwinkel. Vervollstaendigen Sie anschliessend die Parameterdarstellung.
Die Kurve geht auch durch die z-Achse. Berechnen Sie die 2 Punkte, an denen die Schraubenlinie die z-Achse schneidet.

4)
Im Quader ABCD-EFGH $A= (0/0/0)$, $B= ({-4}/0/0)$, $C= ({-4}/{3}/0)$, $D= (0/{3}/0)$
$E= (0/0/3.2)$, $F= ({-4}/0/3.2)$, $G= ({-4}/{3}/3.2)$, $H= (0/{3}/3.2)$, wird zuerst eine Ebene durch die Punkte B, D, G gelegt, deren Hesse'sche Normalform zu bestimmen ist. Zeigen Sie durch Berechnen der Abstände, dass die Ebene durch die Punkte A,F,H parallel zur ersten ist, und geben Sie auch noch die Hesse'sche Normalform dieser Parallel-Ebene an.

5)
Das Rechteck ABCD $A=(4/0)$, $B=(6/0)$, $C=(6/6)$ $D=(4/6)$ soll mit homogener Koordinatentransformation zuerst an der Geraden $x = 5$ gespiegelt werden und anschliessend noch an der Geraden $y = 3$ Geben Sie alle Teil-Transformations-Matrizen fuer diese Abbildungen in homogenen Koordinaten der Ebene an, sowie die Gesamt-Transformationsmatrix nach den beiden Spiegelungen. Es werden ausdrücklich nur die Koordinaten des Rechtecks am Schluss der beiden Abbildungen verlangt, die Rechteckskoordinaten der Teil-Abbildungen müssen nicht berechnet werden.

6)
Geben Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung $z^8 = -81i$ in der Euler'schen Form an!


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2012-03-21