FS 11 - Prüfung 2, c,b,a 17. Mai 2011

Ingenieurmathematik Prüfung 2c 17. Mai 2011
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Bestimmen Sie die Zahlen p und q, so dass das Matrizenprodukt P = A(3x6)*B(px5)*C(5xq)*D(4x3) legal ist und geben Sie auch die Dimensionen der Produkt-Matrix P an

1b)

Bestimmen Sie die konjugiert komplexen Zahlen zu z1 = 8 * exp(-i*8) und z2 = -8 + 6i

1c)

Zerlegen Sie die Matrix M = [0 8; 2 7] in eine Summe M = A + S, so dass A antisymmetrisch ist und S symmetrisch.

1d)

Bestimmen Sie p im Vektor u = [2 ; 5 ; p] so dass u senkrecht zum Vektor v = [-2 ; 1 ; 2] steht.

2)

Geben Sie diejenigen Lösungen der komplexen Gleichung

$$z^{9} = \sqrt{2}/2 + i\cdot \sqrt{2}/2$$

an, welche einen positiven Realteil aufweisen.

3)

Bestimmen Sie in einem Würfel mit Grundfläche ABCD, Deckfläche EFGH, mit E über A und der Kantenlänge 5 die Längen der folgenden 2 Vektoren:
u = Verbindungsvektor von A zum Mittelpunkt CG
v = Verbindungsvektor von Mittelpunkt CG zum Punkt F
Bestimmen Sie auch den Winkel zwischen u und v

4)

Bestimmen Sie zum Satz der 3 Funktionen

$$\begin{array}{rcl} f_1 & = & \cos(x) \cdot \sin^2(y) \cdot z... ...os(y) \cdot z^2\\ f_3 & = & \cos^2(y) \cdot z^3\\ \end{array}$$

Die Jacobi-Matrix, d.h. die Zusammenstellung aller 3 partiellen Ableitungen (nach x, y und z) aller Funktionen.

5)

Das rechtwinklige Dreieck $A(6/2)$, $B(2/-2)$, $C(6/-2)$ wird zuerst um den Koordinatenursprung $0/0$ um $-90$ Grad gedreht und ergibt das Dreick $A'B'C'$.
Anschliessend soll am neuen Ort das Dreieck um $+90$ Grad um den Mittelpunkt der Hypotenuse $A'B'$ gedreht werden.
Geben Sie die Abbildungsmatrix in homogenen Koordinaten für die erste Drehung, sowie einzeln die drei Teil-Transformationen für die 2.Drehung an und berechnen Sie die Gesamt-Transformationsmatrix als Produkt aller vier Teil-Transformationen.

6)

Erzeugen Sie ein MATLAB-Skript, welches die Fehlergleichungen zum Geradenfit an die Punkte
x = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = 5 4 4 2 3 2 1 0 0
bestimmt und diese anschliessend löst.
Danach sollen aus den Fehlergleichungen die Normalengleichungen bestimmt werden, deren Lösung durch MATLAB-Befehle ebenfalls programmiert werden muss.