FS 11 -Ersatzprüfung, 24. Mai 2011

Ingenieurmathematik Ersatzprüfung 24. Mai 2011
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Bestimmen Sie die Zahl f in der Matrix E = [1 0 ; f 1 ] (2x2 Eliminationsmatrix), so dass das Produkt R = E*A eine Rechts-Dreiecksmatrix ist.
A = [2 4 ; 2 1]

1b)

Welchen Wert hat die komplexe Zahl $(z_0)^{101}$, wenn gilt $z_0 = \sqrt{2}/2 + i \cdot \sqrt{2}/2$.
Das Resultat kann auch in der Euler'schen Form angegeben werden.

1c)

Bestimmen sie die Inverse der Matrix M = [0 -1 ; 1 0].
Verwenden Sie dabei die Information, dass M orthogonal ist.

1d)

Bestimmen Sie p im Vektor u = [2 ; 5 ; 2; p] so dass u senkrecht zum Vektor v = [-2 ; 1 ;-3 ; 2] steht.

2)

Für welche ganzzahligen Exponenten $p$ mit $p < 14$ haben die komplexen Werte $(z_0)^p$
(mit $z = \sqrt{3}/2 + 0.49i$) negative Realteile?

3)

Bestimmen Sie in einem Würfel mit Grundfläche ABCD, Deckfläche EFGH, mit E über A und der Kantenlänge 8 die Längen der folgenden 2 Vektoren:
u = Verbindungsvektor von Mittelpunkt AE zum Mittelpunkt FG
v = Verbindungsvektor von Mittelpunkt AE zum Mittelpunkt GH
Bestimmen Sie auch den Winkel zwischen u und v

4)

Geben Sie die beiden MATLAB-Funktionen an zur Berechnung von:
1. Funktionswerte-Vektor (wie weit sind f1 und f1 an der Stelle xvec = [xk ; yk] noch von 0/0 entfernt?)
2. Berechnung der Jacobi-Matrix (Berechnung der Jacobi-Matrix, bzw. von deren Element-Werten an der Stelle xvec = [xk ; yk] )
welche für eine 2D Newton-Iteration (suche der (doppelten) Vektor-Nullstelle f1 = 0 und f2 = 0 der beiden Funktionen
f1 = x^4 + y^4 - 20 und
f2 = x^2 - 5*y - 1 benötigt werden.

5)

Das Quadrat $A(3/0)$, $B(9/0)$, $C(9/6)$ $D(3/6)$ wird zuerst einer Verschiebung in reiner
$-x$-Richtung unterzogen, bis sein Mittelpunkt auf der y-Achse liegt.
Anschliessend soll es am neuen Ort um seinen Mittelpunkt um $-90$ gedreht werden.
Geben Sie die Abbildungsmatrix in homogenen Koordinaten für die erste Verschiebung, sowie einzeln die drei Teil-Transformationen für die anschiessende Drehung an und berechnen Sie die Gesamt-Transformationsmatrix als Produkt aller vier Teil-Transformationen. Die Eck-Koordinaten nach der Abbildung werden nicht verlangt, nur die Gesamt-transformationsmatrix.

6)

Bestimmen Sie mit Hilfe der Normalengleichungen die analytische Lösung des Fit-Problems, eine Gerade y = a*x+b an die 3 Punkte
x = -1 0 1
y = 0 p 4
zu fitten.
Im Resultat muss natürlich der Parameter p vorkommen.