SS 2002 Prüfung 1, R-G-B-Y, 3. Juli 2002

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 3.Juli2002
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wie heissen die beiden Produkte zwischen zwei Vektoren, welche für beliebige Dimensionen funktionieren?

1b)

Nennen Sie zwei arithmetische Operatoren, die es nur in Matlab gibt (und nicht in der allgemeinen Algebra) und beschreiben Sie deren Funktion!

1c)

Welche zusätzlichen Eigenschaften können Kurven in Parameterdarstellung (z.B. Lissajous-Figuren) aufweisen, die bei gewöhnlichen Funktionsdarstellungen unmöglich sind?

1d)

Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine obere Dreiecksmatrix der Dimension nxn auf?

2)

Bestimmen Sie die Bedingungen, die für $a,~b,~c,~d$ gelten müssen, damit die Matrix M die Bedingung $M^2 = I$ erfüllt:
$${ \left( \begin{array}{rrr} a & b & 0\\ c & d & 0\\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right)}$$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 2nx2n obere Dreiecksmatrix ab der Diagonalen und bis zur halben Matrix-Dimension mit den Zahlenwerten 8 füllt! Das Dreieck rechts aussen mit den Extrempunkten $M_{1,n+1}$ $M_{1,2n}$ und $M_{n,2n}$ ist dann wieder Null.

4)

Suchen Sie die Permutationsmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrr} a_4 & a_3 & a_2 & a_1 \\ 0 & 0 & 0&... ... c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) \cdot Pr }$$

5)

Suchen Sie die Gesamt-Transformations-Matrizen, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den Winkel R=(0/1), S=(0/0), T=(1/0) mit den Ecken des Quadrates A=(0/0), B=(10/0), C=(10/10) D=(?/?) zur Deckung bringen. (d.h. die Bilder der Ecke S liegen auf den Quadrat-Ecken und die Bilder der Schenkel SR und ST verlaufen entlang den Seiten des Quadrates.

6)

Gesucht ist die Gleichung in der Hesse'schen Normalform für die Ebene im Raum, welche parallel zur Ebene durch die Punkte A=(0/0/9.6), B=(0/12/0), C=(9/0/0) verläuft und welche durch den Punkt T=(4/4/4) geht.