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SS 2002 - Prüfung 2, R-G-B-Y , 21. August 2002

R   Ingenieurmathematik Prüfung 2 21.August2002
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Warum funktioniert das Spatprodukt zwischen drei Vektoren nur im dreidimensionalen Raum?

1b)
Wie bildet man die konjugiert komplexe Zahl (algebraisch, nicht mit Matlab-Funktionen) zu einer in der kartesischen Form vorliegenden (a+ib) und wie zu einer in der Polarkoordinatenform vorliegenden ( $r\cdot \mathrm{e}^{j \cdot \phi}$) Zahl?

1c)
Warum kann man mit dem Umweg über fft ifft eine Faltung effizienter berechnen?

1d)
Was versteht man unter dem Ausdruck Signatur einer Prozedur (bzw. Funktion)?

2)
Geben Sie die Matrix und die rechten Seiten der Fehlergleichungen zum Ausgleich nach kleinsten Quadraten an, für die Aufgabe, eine Parabel $a x^2 + bx + c$ an den Punkten
$x = 0, \pm \pi/6, \pm \pi/3$ an die Funktion $y=\cos(x)$ anzupassen.

3)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das in eine nxn obere Dreiecksmatrix in der Diagonalen und in k weiteren zur Diagonalen parallelen Linien der Zeilennummer entsprechende Werte abfüllt! Die übrigen Werte sollen Null sein.

4)
Suchen Sie die speziellen Permutationsmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrr}
a_4 & 0 & 0 & a_1 \\
0 & 0 & 0& 0 \...
...
c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\
d_1 & d_2 & d_3 & d_4
\end{array}\right) \cdot Pr
}$

5)
Suchen Sie die drei Gesamt-Transformations-Matrizen, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den einen Flügel A(5/5) B(8/5) C(10/0) des vierflügligen Windrädchens mit Achse R(5/5) auf die drei anderen abbildet.

6)
Bestimmen Sie das Gleichungssystem in Matrizenform, welches die Lösung zum Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen:
$Z = 5 x^2 + 2 y^2 + z^2$ soll maximal werden unter der Bedingung, dass
$x + y -z = 10$ ist., mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren liefert.


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2012-03-21