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SS 04 - Prüfung 1, G, 30.Juni2004

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Juni2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Welches ist der Rang einer 5x5 Scroll-down Matrix , welche die unten herausfallende Zeile nicht wieder oben einfügt?

1b)
Wie nennt man das spezielle Lösungsverfahren eines linearen Gleichungssystems der Form $R\cdot x = b$ wenn bekannt ist, dass es sich bei $R$ um eine Rechts-Dreiecksmatrix handelt?

1c)
Geben Sie die zu $r\cdot \mathrm{e}^{j\cdot w}$ konjugiert komplexe Zahl, ebenfalls in der Polarkoordinatenform an!

1d)
Für welche Elemente einer quadratischen Matrix, für welche $A^T = -A$ gilt, sind durch diese Bedingung die Zahlenwerte festgelegt?

2)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 2nx2n untere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit dem Wert 5 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und links davon n Werte (bzw. bis zum Rand) nebeneinander verschieden von Null sind. Auf der Diagonalen soll jedoch der Wert 10 stehen.

3)
Welche Werte müssen die Parameter $a$, $b$ und $c$ annehmen, damit die nebenstehende Matrix orthogonal ist?
 
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrr}
\sqrt{2}/2 & 0 &a & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
b & 0 & \sqrt{2}/2 & c \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)}$

4)
Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(8/0/0)$, $ B(0/6/0)$ und $C(0/0/6.4)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichungen der zwei zu E parallelen Ebenen F und G an. Dabei F soll durch den Koordinatnursprung gehen und G soll doppelt so weit vom Ursprung entfernt sein wie E.

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die Pfeil-Figur mit den Ecken $L =(0/5)$, $S=(-5/7)$, $R=(0/9)$ um 90$^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Spitze S dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten L'S'R'.

6)
Suchen Sie die Darstellung der Schraubenlinie mit Achse entlang der y-Achse, welche durch die Punkte (-6/0/0) und (0/1/6) geht, und geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.


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2012-03-21