WS 04/05 - Prüfung 1, 1.Dez.2004

Ingenieurmathematik Prüfung 1 1.Dez.2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, Zwischenresultate obligatorisch, Max.6*8 P.,
40 P. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welcher Fall der Lösbarkeit liegt bei einem linearen Gleichungssystem der Dimension 'n' vor, wenn gilt: Rang(A) $<$ n und Rang([A b]) = Rang(A)?

1b)

Welche Dimensionen müssen die Matrizen B und D haben, damit das Produkt A*B*C*D*E definiert ist? Welche Dimensionen hat das Resultat? (A = (4x4), C = (5x3)), E = (6x1)) .

1c)

Wie lautet der Fachbegriff für eine Matrix, für welche gilt: $A^T = -A$ ?

1d)

Geben Sie die Eliminationsmatrix an, welche beim Gauss-Algorithmus bei der Matrix
$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$ an der Position 2,1 eine Null erzeugt und Bestimmen Sie auch die Inverse dieser Eliminationsmatrix.

2)

Geben Sie alle (komplexen) Lösungen an für die Gleichung $z^6+j = 0$

3)

Schreiben Sie ein Programm in Matlab-Code zum Erstellen einer unteren Band-Dreicks-Matrix der Dimension nxn, mit der (halben) Bandbreite k (d.h. k von Null verschiedene Linien ausserhalb der Diagonalen), welche in den von Null verschiedenen Elementen die Werte ``Spaltenindex plus Zeilenindex'' aufweist. ( Die Zahlen 'n' und 'k' sind vorgegebene Parameter, wobei natürlich k $<$ n sein muss.)

4)

Bestimmen Sie alle Elemente der unbekannten Matrizen $\mathbf{Pl}$ und $\mathbf{Pr}$, so dass die untenstehende Gleichung für beliebige $a_{jk}$ gilt:

$$\left( \begin{array}{rrrrr} a_{25} & a_{24} & a_{23} & a_{21... ...{53} & a_{54} & a_{55} \end{array} \right) \cdot \mathbf{Pr}$$

5)

Ein Dach über einem Ausstellungspavillon hat im Grundriss die Form eines gleichseitigen Dreiecks, das in einem Kreis vom Radius 2 m einbeschrieben ist. Die Ecken haben die Höhen 2 m (Nord), 3 m (ca. Südwest) und 4 m (ca. Südost). Berechnen Sie den Neigungswinkel dieses Daches, sowie die wahren Winkel dieses Dreiecks im Raum.

6)

Schreiben Sie ein MATLAB-Skript zum Zeichnen (plot3) einer linksgängigen (rot) und einer rechtsgängigen (schwarz) Schraubenlinie mit je 10 Umgängen, mit der x-Achse als Achse der Schraubenlinien, je einem Radius von 1, einer Ganghöhe von 0.8 und dem gemeinsamen Startpunkt (0/0/1)!