Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Abbildung 3: Fälle der Lösbarkeit, demonstriert am Schnitt von drei Ebenen im Raum: Zwei Ebenen sind parallel - singulär.

Bei Gleichungssystemen mit drei Unbekannten entspricht die Lösung dem Schnitt von drei Ebenen. Bei zwei zueinander parallelen Ebenen ist das System singulär; sind die parallelen Ebenen verschieden, so gibt es keine Lösung - sind sie identisch, so gibt es unendlich viele Lösungen. Diese umfassen die Schnittgerade der aufeinanderfallenden Ebenen mit der dritten Ebene.

Abbildung 4: Fälle der Lösbarkeit, demonstriert am Schnitt von drei Ebenen im Raum: Die drei Ebenen bilden ein Prisma - singulär.

Ebenfalls singulär ist der Fall, bei dem die drei Ebenen sich in drei zueinander parallelen Geraden schneiden. Die Ebenen bilden dann ein Prisma. Die Normalenvektoren auf den drei zu schneidenden Ebenen liegen in einer einzigen Ebene, welche auf den drei Schnittgeraden senkrecht steht. In diesem Fall gibt es keine Lösungen. Im dazu verwandten Fall, bei dem die drei Ebenen eine einzige gemeinsame Schnittgerade besitzen, enthält diese die unendlich vielen Lösungen.

Abbildung 5: Fälle der Lösbarkeit, demonstriert am Schnitt von drei Ebenen im Raum: Regulärer Fall

Im regulären Fall schneiden sich drei Ebenen in einem Punkt und die Normalenvektoren auf die drei Ebenen spannen den ganzen dreidimensionalen Raum auf.