WS 05/06 - Prüfung 2, 1. März 2006

Ingenieurmathematik Prüfung 2 1.März2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, Zwischenresultate obligatorisch, Max.6*8 P., 40 P. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie Formel an für denjenigen Anteil eines beliebigen Vektors $\vec{v}$, welcher parallel zu einem vorgegebenen Einheitsvektor $\vec{e_w}$ verläuft!

1b)

Wieviele Nullen muss man der Folge a mit der Länge 15 anhängen und wieviele der Folge b mit der Länge 12, damit man die gewöhnliche Faltung von a mit b via FFT lösen kann?

1c)

Warum schreibt man bei der Fouriertransformation die Gleichstromkomponente als $a_0/2$ statt einfach als $a_0$?

1d)

Kann man die Zeitfunktion aus dem Powerspektrum rekonstuieren, falls man - (Ja oder nein, und ganz kurze Begründung)
d1) zusätzlich alle cos-Koeffizienten kennt?
d2) weiss, dass es sich bei $f(t)$ um eine gerade Funktion handelt?

2)

Ein Oktaeder hat die 6 Ecken A$(6/0/0)$, B$(0/6/0)$, C$(-6/0/0)$, D$(0/-6/0)$, T$(0/0/6)$, und S$(0/0/-6)$. Bestimmen Sie die Gleichungen in Hesse'scher Normalform für die zwei Ebenen F (durch C,D, und den Schwerpunkt des Dreicks ABS) und G (durch A,B, und den Schwerpunkt des Dreicks CDT).

3)

Schreiben Sie ein Programm in Matlab-Code, welches zu einer vorgegebenen quadratischen Matrix M im oberen Dreiecks-Teil (inkl. Diagonale) den symmetrischen Anteil von M abspeichert und im unteren Dreiecks-Teil (ohne Diagonale) den antisymmetrischen Teil.

4)

Geben Sie die Transformationsmatrizen in homogenen Koordinaten an, für die Transformationen R) und S), sowie die Koordinaten der transformierten Punkte. Es sind jeweils die Gesamt-Transformation und die zugehörigen Teiltransformationen anzugeben.
Bei R) wird das Quadrat A$(5/0)$, B$(10/0)$ C$(10/5)$ D$(5/5)$ um den Punkt C um den Winkel $+90^{\mathrm{o}}$ gedreht.
Bei S) wird dasselbe Quadrat am Mittelpunkt der Strecke BC einer Punktspiegelung unterworfen. Zeigen Sie, dass die beiden Bildquadrate übereinander liegen indem Sie die zusammenpassenden Paare von Bildpunkten suchen.

5)

Berechnen Sie ``von Hand'', unter Angabe der zu summierenden Tabelle sowohl die zirkuläre Faltung als auch die gewöhnliche Faltung der Folge [1 0 2 2 3] mit sich selbst.

6)

Bestimmen Sie $\vec{grad}(F(x,y))$ für die Funktion $F(x,y) = (\sin(x) + 0.2 \sin(3x))\cdot \sin(y)$ , und schreiben Sie ein MATLAB-Skript zum Zeichnen eines Konturplots dieser Funktion im Bereich $x = 0 \ldots \pi$ und $y = 0 \ldots \pi$