- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Welcher Matrizen-Typ erfüllt sowohl die Bedingungen einer oberen
Dreiecksmatrix als auch diejenigen einer unteren Dreiecksmatris?
- L:
- Diagonalmatrix
- 1b)
- Warum benötigt eine vollständig programmierte Gauss-Elimination
eine Option zur Zeilen-Vertauschung?
- L:
- Weil als Pivot Elemente Werte von Null vermieden werden müssen.
- 1c)
- Was passiert, wenn man ein Vektorprodukt von zwei zueinender parallelel
Vektoren bildet?
- L:
- Das Resulat ist ein Nullvektor.
- 1d)
- Was erhält man, wenn man bei einer komplexen Wurzel
beim Term
den Wert k über
hinaus weiter laufen lässt?
- L:
- Man bekommt wieder Lösungen die man schon hat.
- 2)
- Gegeben sind die Fusspunkte und ,
eines Dreiecks im Raum. Auf welcher Höhe h muss der Punkt
liegen, damit das Dreieck ACB im Raum rechtwinklig wird?
Geben Sie auch die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen Normalform an!
- L:
- AC senkrecht BC : [-16 2 h]'*[2 -16 h] = 0;
A=[16 -2 0]'; B=[-2 16 0]'; C=[0 0 8]'; n=cross(C-A,C-B), ne = n/norm(n)
d=ne'*C, ne'*A, ne'*B
% n= [144 144 252]'; ne = [0.4444 0.4444 0.7778], d=6.2222
- 3)
- Schreiben Sie eine Matlab-Funktion, welche bei einer gegebenen Matrix
testet, ob diese die Bedingungen für eine obere Dreiecksmatrix erfüllt!
- L:
function isodreieck = obdreitest(M)
%Test ob die eingegebene Matrix obere Dreiecksform besitzt
isodreieck = true;
[nzei,nspal]=size(M);
for zei = 2:nzei;
for spa = 1:zei-1;
if M(zei,spa) ~=0
isodreieck = false
end
end
end
- 4)
- Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das mit einem komplexen Vektor
(2 Umgänge um den Einheitskreis und geeigneter rein reeller Vorschub)
eine masstäblich richtige, gewöhnliche
Zykloide mit 2 vollen Zyklen zeichnet.
- L:
w=(0:0.02:2)*2*pi;
z = exp(j*w);
zyk = z+w;
plot(zyk); axis equal
pause
% gewohnte Darstellung mit Abrollen nach links und Start unten
zz = exp( j*(3*pi/2 - w) );
zzyk = zz+w;
plot(zzyk,'r'); axis equal
- 5)
- Geben Sie alle Teil-Transformationsmatrizen
und die Gesamt-Transformations-Matrix
in homogenen Koordinaten der Ebene an, welche das Quadrat
, , ,
Um seinen Mittelpunkt um den Winkel drehen,
und geben Sie auch die MATLAB Kommandi an, zum Zeichnen von
Urbild und Bild.
- L:
Qur=[0 6 12 6 0; 6 0 6 12 6; 1 1 1 1 1];
T1=[1 0 -6; 0 1 -6; 0 0 1]; T2R=[0 1 6; -1 0 6; 0 0 1];
Tt = T2R*T1, Qb = Tt*Qur % Tt = [0 1 0; -1 0 12; 0 0 1];
plot(Qur(1,:),Qur(2,:),'r'); hold on; axis equal
plot(Qb(1,:),Qb(2,:),'ko:'); hold off
% Qur=[ 6 0 6 12 6; 12 6 0 6 12 ; 1 1 1 1 1];
- 6)
- Bestimmen Sie eine sich bei Rechtsdrehung öffnende archimedische Spirale,
welche durch die Punkte (0/4) (0/6) (0/8) (0/10) geht
(überbestimmt, aber lösbar). Geben Sie ein
MATLAB Skript an, welches diese Linie zeichnet!
- L:
w= (-0.75:-0.01:-3.75)*2*pi; a = -1/pi; w0 = -pi*(2.5);
r = a*(w+w0);
x = r.*cos(w); y = r .*sin(w); plot(x,y); axis equal
wp= (-0.75:-1:-3.75)*2*pi; rp = a*(wp+w0);
xp = rp.*cos(wp); yp = rp .*sin(wp); hold on; plot(xp,yp,'ro');
hold off