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SS 06 - Lösungen Nachprüfung 23. Aug. 2006

N   Ingenieurmathematik Nachprüfung 23.Aug.2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Welcher Matrizen-Typ erfüllt sowohl die Bedingungen einer oberen Dreiecksmatrix als auch diejenigen einer unteren Dreiecksmatris?

L:
Diagonalmatrix

1b)
Warum benötigt eine vollständig programmierte Gauss-Elimination eine Option zur Zeilen-Vertauschung?

L:
Weil als Pivot Elemente Werte von Null vermieden werden müssen.

1c)
Was passiert, wenn man ein Vektorprodukt von zwei zueinender parallelel Vektoren bildet?

L:
Das Resulat ist ein Nullvektor.

1d)
Was erhält man, wenn man bei einer komplexen Wurzel beim Term $\displaystyle{\ldots + k\cdot 2\pi/n }$ den Wert k über $n-1$ hinaus weiter laufen lässt?

L:
Man bekommt wieder Lösungen die man schon hat.

2)
Gegeben sind die Fusspunkte $ A(16/-2/0)$ und $ B(-2/16/0)$, eines Dreiecks im Raum. Auf welcher Höhe h muss der Punkt $C(0/0/h)$ liegen, damit das Dreieck ACB im Raum rechtwinklig wird? Geben Sie auch die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen Normalform an!

L:
AC senkrecht BC : [-16 2 h]'*[2 -16 h] = 0; $ -32 -32 + h^2 = 0$ $h=\pm 8$
A=[16 -2 0]'; B=[-2 16 0]'; C=[0 0 8]'; n=cross(C-A,C-B), ne = n/norm(n)
d=ne'*C, ne'*A, ne'*B
% n= [144 144 252]'; ne = [0.4444 0.4444 0.7778], d=6.2222

3)
Schreiben Sie eine Matlab-Funktion, welche bei einer gegebenen Matrix testet, ob diese die Bedingungen für eine obere Dreiecksmatrix erfüllt!

L:
function isodreieck = obdreitest(M)
%Test ob die eingegebene Matrix obere Dreiecksform besitzt
isodreieck = true;
[nzei,nspal]=size(M);
for zei = 2:nzei;
  for spa = 1:zei-1;
    if M(zei,spa) ~=0
      isodreieck = false
    end
  end
end

4)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das mit einem komplexen Vektor (2 Umgänge um den Einheitskreis und geeigneter rein reeller Vorschub) eine masstäblich richtige, gewöhnliche Zykloide mit 2 vollen Zyklen zeichnet.

L:
w=(0:0.02:2)*2*pi;
z = exp(j*w);
zyk = z+w;
plot(zyk); axis equal
pause
% gewohnte Darstellung mit Abrollen nach links und Start unten
zz = exp( j*(3*pi/2 - w) );
zzyk = zz+w;
plot(zzyk,'r'); axis equal

5)
Geben Sie alle Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix in homogenen Koordinaten der Ebene an, welche das Quadrat
$ A =(0/6)$, $ B =(6/0)$, $ C =(12/6)$, $ D =(6/12)$
Um seinen Mittelpunkt um den Winkel $ -90$$^{\mathrm{o}}$drehen, und geben Sie auch die MATLAB Kommandi an, zum Zeichnen von Urbild und Bild.

L:
Qur=[0  6 12  6  0; 6  0  6 12  6; 1 1 1 1 1];
T1=[1 0 -6; 0 1 -6; 0 0 1]; T2R=[0 1 6; -1 0 6; 0 0 1];
Tt = T2R*T1, Qb = Tt*Qur  % Tt = [0 1 0; -1 0 12; 0 0 1];
plot(Qur(1,:),Qur(2,:),'r'); hold on; axis equal
plot(Qb(1,:),Qb(2,:),'ko:'); hold off
% Qur=[ 6 0  6 12  6; 12 6  0  6 12 ; 1 1 1 1 1];

6)
Bestimmen Sie eine sich bei Rechtsdrehung öffnende archimedische Spirale, welche durch die Punkte (0/4) (0/6) (0/8) (0/10) geht (überbestimmt, aber lösbar). Geben Sie ein MATLAB Skript an, welches diese Linie zeichnet!

L:
w= (-0.75:-0.01:-3.75)*2*pi; a = -1/pi; w0 = -pi*(2.5);
r = a*(w+w0);
x = r.*cos(w); y = r .*sin(w); plot(x,y); axis equal
wp= (-0.75:-1:-3.75)*2*pi; rp = a*(wp+w0);
xp = rp.*cos(wp); yp = rp .*sin(wp); hold on; plot(xp,yp,'ro'); 
hold off


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2012-03-21