SS 07 - Prüfung 1, Lösungen, B 30. Mai 2007

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Mai2007
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie zwei MATLAB-Bibliotheksfunktionen an, welche die Signatur -komplexe Eingabe - reelles Resultat aufweisen!

L1a)

c-r: real(), imag(), abs(), angle()

1b)

Welche Bedingungen, falls überhaupt Bedingungen nötig sind, muss eine Matrix U erfüllen,
im Fall a) dass das Produkt $U \cdot U$ legal ist, und
im Fall b) dass das Produkt $U^T \cdot U$ legal ist?

L1b)

a) U quadratisch; b) keine Bedingung

1c)

Wieviele Nullen muss eine nxn antisymmetrische Matrix mindestens enthalten?

L1c)

n Nullen auf der Diagonalen

1d)

Wie erreicht man, dass die Linien zu nachfolgenden Plot-Befehlen in dasselbe Bild eingezeichnet werden?

L1d)

axis equal oder axis ([-1 1 -1 1]) zusammen mit axis square

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_1... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L2)

 BPl = zeros(5) ; BPr = zeros(5); A=iwmat(5)
 BPl(2,4) = 1;   BPl(3,5) = 1;   BPl(5,1) = 1;  
 BPr(1,2) = 1;   BPr(3,4) = 1;   BPr(4,5) = 1;
 As = BPl*A*BPr, BPl, BPr

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

$$z^5 +9\cdot \sqrt{3} = 0$$

L3)

$$z^5 = - 9\cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}^5 \cdot \exp{j\cdot pi}$$

$$z_k = \sqrt{3} \cdot \exp{j\cdot pi/5 + k \cdot 2\pi/5 ~~~ k=0 \ldots 4}$$

4)

Gegeben ist der Punkt $A (4/ 3)$ in der Ebene. Bestimmen Sie die Geradengleichung in der Hesse'schen Normalform für die beiden Geraden:
1. Gerade g durch den Koordinatenursprung O und den Punkt A
2. Gerade h , senkrecht zu g durch den Punkt A
Bestimmen Sie zudem den Schnittpunkt der Geraden h mit der y-Achse (indem Sie in der zu h gehörenden Geradengleichung den x-Koordinatenwert des allgemeinen Punktes Null setzen und dessen y-Koordinatenwert suchen)!

L4)

OA = [4; 3] ;
N = [-3 ; 4]; eng = N/norm(N) , dkg = eng'*OA % dkg muss 0 sein
% eng = [-0.6 0.8]  g: eng'*OP - 0 = 0
% N orth OA ; enh orth (orth OA) , also parallel OA
enh = OA/norm(OA), dkh = enh'*OA
% enh = [0.8 0.6]  h: enh'*OP - 5 = 0 
yh = dkh/enh(2)   % = 8.33

5)

Bestimmen Sie die folgenden zwei archimedischen Spiralen:
1) Die sich im Gegenurzeigersinn (mathematisch positive Winkeländerung) öffnende Spirale durch die Punkte $Pp(-2/0)$ und $Qp(0/-4)$ und
2) Die sich im Urzeigersinn öffnende Spirale durch die Punkte $Pn(2/0)$ und $Qn(0/-4)$.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an zum Zeichnen der beiden Zweige je mit einer halben Drehung zwischen der +y und der -y-Achse!

L5)

% 2 = an*(0 - wn0) ; 4 = an*(-pi/2 - wn0) ;
%  diff:  2 = an*(-pi/2) ; an = -4/pi; wn0 = pi/2
an = -4/pi ; wn0 = pi/2; wn = (0.5:-0.01:-0.5)*pi ;
xn = an*(wn - wn0).*cos(wn); yn = an*(wn - wn0).*sin(wn); 
plot(xn, yn)
axis([-5 5 -5 5]); axis equal; hold on
plot([0 0],[-5 5],'k'); plot([-5 5],[0 0],'k'); 
% 2 = ap*(pi - wp0) ; 4 = ap*(3*pi/2 - wp0) ;
%  diff:  2 = ap*(pi/2) ; ap = 4/pi; wp0 = 2/(4/pi) = pi/2
ap = 4/pi ; wp0 = pi/2; wp = (0.5:0.01:1.5)*pi ;
xp = ap*(wp - wp0).*cos(wp); yp = ap*(wp - wp0).*sin(wp); 
plot(xp, yp,'r')
hold off

6)

Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, welche eine eingegebene Matrix daraufhin prueft, ob sie eine obere Dreiecksmatrix ist, und je nach dem Ausgang der Prüfung 1 für true oder 0 für false zurückgibt. (Dazu muss vorher getestet werden ob sie quadratisch ist.)

L6

function iftri =  utrites(M)
% Test auf obere Dreiecksmatrix
% 1. ist M quadratisch?
  [nzei,nspa] = size(M);
  if nzei ~= nspa
    iftri = 0;
    return
  else
%  unteres Feld muss Nullen enthalten
    iftri = 1;
    for zei = 2:nzei
      for spa = 1:zei-1
        if M(zei,spa) ~= 0
          iftri = 0;
          return
        end
      end
    end    
  end