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FS 08 - Lösungen zur Prüfung 1, R-G-B-Y, 8. April 2008

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 8.April2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie einen Vektor zv (eine Folge) von komplexen Zahlen an, so dass plot(zv); axis equal ein auf der Spitze stehendes Quadrat mit der Seitenlänge 1 zeichnet.

L1a)
zv = sqrt(2)/2*[ 1 i -1 -i 1] ; plot(zv); axis equal

1b)
Bestimmen Sie die Zahlen n und m so, dass die folgendende Matrixmultiplikation legal ist: A(4x4)*B(4x3)*C(nx5)*D(mx2)

L1b)
n=3; m=5;

1c)
Geben Sie eine 3x3 Turm-Matrix an, für welche gilt $T^3 = I$ (I = Einheitsmatrix)

L1c)
Scroll up oder scroll down; T = [0 1 0; 0 0 1; 1 0 0]; T^3

1d)
Beschreiben Sie wie man die Matrix $G =(E\cdot F)^{-1}$ berechnet, aus der Angabe dass E = [1 0 0; 0.5 1 0; 0 0 1] und F = [1 0 0; 0 1 0; 0 -0.2 1] gilt.

L1d)
G = (E*F)^-1 % =[ 1 0 0; -0.5 1 0; -0.1 0.2 1]



2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!

$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrrr}
e_5 & e_1 & 0 & e_2 & 0 \\
d...
..._2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}
\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

L2)
        0     0     0     0     1          0     1     0     0     0
        0     0     0     1     0          0     0     0     1     0
 Pl =   0     0     0     0     0     Pr = 0     0     0     0     0
        0     1     0     0     0          0     0     0     0     0
        0     0     0     0     0          1     0     0     0     0



3)
Suchen sie alle komplexen Lösungen $z_k$ der Gleichung

\begin{displaymath}
(z-1)^2 +2i = 0
\end{displaymath}

L3)
2 Lösungen für die Klammer: $u_1 = \sqrt{2}*\exp(j*3*pi/4)$ $u_2 = \sqrt{2}*\exp(j*7*pi/4)$
Arithmetische Form $u_1= -1+i$ , also $z_1 = i$, $u_2= 1-i$ , also $z_2 = 2-i$,



4)
Gegeben ist der Quader $A(-4/0/0)$ $B(-4/4/0)$ $C(8/4/0)$ $D(8/0/0)$ $E(-4/0/2)$ $F(-4/4/2)$ $G(8/4/2)$ $H(8/0/2)$. Berechnen Sie die Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren AC und AG , sowie $\beta$ zwischen AH und AG

L4)
 A=[-4 0 0]'; B=[-4 4 0]'; C=[8 4 0]'; D=[8 0 0]';
 E=[-4 0 2]'; F=[-4 4 2]'; G=[8 4 2]'; H=[8 0 2]';
u1 = C-A, v1 = G-A, sp1 = u1'*v1, u1b = norm(u1), v1b = norm(v1) 
co1 = sp1/u1b/v1b   % 0.9877
%  u1 = [12 4 0]' ; v1 = [12 4 2]'; sp1 = 160; u1b = 12.6491; v1b = 12.8062
w1 = acos(u1'*v1/norm(u1)/norm(v1))
%     0.1568 rad    8.9849  Grad
u2 = H-A, v2 = G-A, sp2 = u2'*v2, u2b = norm(u2), v2b = norm(v2) 
co2 = sp2/u2b/v2b   %  0.9500
%  u2 = [12 0 2]' ; v2 = [12 4 2]'; sp2 = 148; u2b = 12.1655; v2b =  12.8062
w2 = acos(u2'*v2/norm(u2)/norm(v2))
%    0.3177  rad    18.2008 Grad 
Q = [ A B C D A E F B F G C G H D H E];
plot3(Q(1,:), Q(2,:), Q(3,:),'k'); hold on
UV1 = [G A C]; UV2 = [H A G];
plot3(UV1(1,:), UV1(2,:), UV1(3,:),'r'); axis equal
plot3(UV2(1,:), UV2(2,:), UV2(3,:),'m'); hold off

5)
Bestimmen Sie die Parameterdarstellungen der beiden Schraubenlinien (eine rechts- und eine links-Schraube) die beide im Punkt $(0/0/0)$ starten, durch die durch die Punkte $(1/0/1)$ $(0/0/2)$ und $(1/0/3)$ gehen und beim Punkt $(0/0/4)$ enden. Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um die rechts-Schraube rot, die links-Schraube schwarz und die angegebenen Punkte als grüne Ringe zu zeichnen.

L5)
% Punkte auf vertikalen Linien ueber 0/0 und 1/0
%   Achse bei 0.5/0,  h = 2  Radius = 0.5 2 Umgaenge
t = (0:0.01:2)*2*pi; r = 0.5; h = 2;
xl = 0.5 - r*cos(t); yl =  r*sin(t) ; zl = t*h/2/pi;
xr = 0.5 - r*cos(t); yr = -r*sin(t) ; zr = t*h/2/pi;
plot3(xl,yl,zl,'k'); hold on;
plot3(xr,yr,zr,'r'); axis equal;
plot3([0 1 0 1 0], [0 0 0 0 0], [0 1 2 3 4], 'go'); hold off

6)
Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das Rechteck ABCD ($A(2/3)$,$B(10/3)$,$C(10/5)$, $D(2/5)$,) um $-90^{\mathrm{o}}$  um seinen Mittelpunkt dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Rechtecks an.

L6)
Rur = [2 10 10 2 2; 3 3 5 5 3; 1 1 1 1 1];
%  M = (6/4)  (2+10)/2 , (3+5)/2
Tz = [1 0 -6; 0 1 -4; 0 0 1]; R = [0 1 0; -1 0 0; 0 0 1];
Tb = [1 0  6; 0 1  4; 0 0 1];  TT = Tb*R*Tz % = [0 1 2; -1 0 10; 0 0 1];
Rtr = Tb*R*Tz*Rur % Rtr = [5 5 7 7 5; 8 0 0 8 8; 1 1 1 1 1];
plot(Rur(1,:),Rur(2,:),'k') ; axis equal; hold on
plot(Rtr(1,:),Rtr(2,:),'r') ;
Rzr = Tz*Rur 
plot(Rzr(1,:),Rzr(2,:),'g') ;
Rrr = R*Tz*Rur 
plot(Rrr(1,:),Rrr(2,:),'g') ;


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2012-03-21