FS 08 - Lösungen zur Prüfung 1, G, 8. April 2008

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 8.April2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie einen Vektor zv (eine Folge) von komplexen Zahlen an, so dass plot(zv); axis equal ein auf der Spitze stehendes Quadrat mit der Seitenlänge 4 zeichnet.

L1a)

zv = sqrt(2)*2*[ 1 i -1 -i 1] ; plot(zv); axis equal

1b)

Bestimmen Sie die Zahlen n und m, so dass die folgendende Matrixmultiplikation legal ist: A(4xn)*B(5x3)*C(3x7)*D(mx2)

L1b)

n=5; m=7;

1c)

Geben Sie eine 3x3 Turm-Matrix an, für welche gilt $T^3 = I$ (I = Einheitsmatrix)

L1c)

Scroll up oder scroll down; T = [0 1 0; 0 0 1; 1 0 0]; T^3

1d)

Beschreiben Sie wie man die Matrix $G =(E\cdot F)^{-1}$ berechnet, aus der Angabe dass E = [1 0 0; 0.5 1 0; 0 0 1] und F = [1 0 0; 0 1 0; 0 -0.4 1] gilt.

L1d)

G = (E*F)^-1 % =[ 1 0 0; -0.5 1 0; -0.2 0.4 1]

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!

$${ \left( \begin{array}{rrrrr} e_5 & 0 & e_2 & 0 & e_3 \\ 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L2)

        0     0     0     0     1          0     0     0     0     0
        0     0     0     0     0          0     0     1     0     0
 Pl =   0     0     1     0     0     Pr = 0     0     0     0     1
        0     1     0     0     0          0     0     0     0     0
        0     0     0     0     0          1     0     0     0     0

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen $z_k$ der Gleichung

$$(z-1)^4 +4 = 0$$

L3)

4 Lösungen für die Klammer: $u_1 = \sqrt{2}*\exp(j*pi/4)$,   $u_2 = \sqrt{2}*\exp(j*3*pi/4)$,   $u_3 = \sqrt{2}*\exp(j*5*pi/4)$ $u_4 = \sqrt{2}*\exp(j*7*pi/4)$
Arithmetische Form $u_1= 1+i$ , also $z_1 = 2+i$, $u_2= -1+i$ , also $z_2 = i$, $u_3= -1-i$ , also $z_3 = -i$, $u_4= 1-i$ , also $z_4 = 2-i$,

4)

Gegeben ist der Quader $A(-2/0/0)$ $B(-2/4/0)$ $C(4/4/0)$ $D(4/0/0)$ $E(-2/0/2)$ $F(-2/4/2)$ $G(4/4/2)$ $H(4/0/2)$. Berechnen Sie die Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren AC und AG , sowie $\beta$ zwischen AH und AG

L4)

 A=[-2 0 0]'; B=[-2 4 0]'; C=[4 4 0]'; D=[4 0 0]';
 E=[-2 0 2]'; F=[-2 4 2]'; G=[4 4 2]'; H=[4 0 2]';
u1 = C-A, v1 = G-A, sp1 = u1'*v1, u1b = norm(u1), v1b = norm(v1) 
co1 = sp1/u1b/v1b   % 0.9636
%  u1 = [6 4 0]' ; v1 = [6 4 2]'; sp1 = 52; u1b = 7.2111; v1b = 7.4833
w1 = acos(u1'*v1/norm(u1)/norm(v1))
%    0.2705 rad      15.5014  Grad
u2 = H-A, v2 = G-A, sp2 = u2'*v2, u2b = norm(u2), v2b = norm(v2) 
co2 = sp2/u2b/v2b   %  0.8452
%  u2 = [6 0 2]' ; v2 = [6 4 2]'; sp2 = 40; u2b = 6.3246; v2b = 7.4833
w2 = acos(u2'*v2/norm(u2)/norm(v2))
%    0.5639 rad      32.3115  Grad 
Q = [ A B C D A E F B F G C G H D H E];
plot3(Q(1,:), Q(2,:), Q(3,:),'k'); hold on
UV1 = [G A C]; UV2 = [H A G];
plot3(UV1(1,:), UV1(2,:), UV1(3,:),'r'); axis equal
plot3(UV2(1,:), UV2(2,:), UV2(3,:),'m'); hold off

5)

Bestimmen Sie die Parameterdarstellungen der beiden Schraubenlinien (eine rechts- und eine links-Schraube) die beide im Punkt $0/0/0$ starten, durch die durch die Punkte $(0/1/1)$ $(0/0/2)$ und $(0/1/3)$ gehen und beim Punkt $(0/0/4)$ enden. Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um die rechts-Schraube grün, die links-Schraube blau und die angegebenen Punkte als schwarze Diagonalkreuze zu zeichnen.

L5)

% Punkte auf vertikalen Linien ueber 0/0 und 0/1
%   Achse bei 0/0.5,  h = 2  Radius = 0.5 2 Umgaenge
t = (0:0.01:2)*2*pi; r = 0.5; h = 2;
yl = 0.5 - r*cos(t); xl = -r*sin(t) ; zl = t*h/2/pi;
yr = 0.5 - r*cos(t); xr =  r*sin(t) ; zr = t*h/2/pi;
plot3(xl,yl,zl,'b'); hold on;
plot3(xr,yr,zr,'g'); axis equal;
plot3( [0 0 0 0 0], [0 1 0 1 0], [0 1 2 3 4], 'kx'); hold off

6)

Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das Rechteck ABCD ($A(3/2)$,$B(3/10)$,$C(5/10)$, $D(5/2)$,) um $-90^{\mathrm{o}}$  um seinen Mittelpunkt dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Rechtecks an.

L6)

Rur = [3 3 5 5 3; 2 10 10 2 2; 1 1 1 1 1];
%  M = (4/6)  (3+5)/2 , (2+10)/2
Tz = [1 0 -4; 0 1 -6; 0 0 1]; R = [0 1 0; -1 0 0; 0 0 1];
Tb = [1 0  4; 0 1  6; 0 0 1];  TT = Tb*R*Tz % [0 1 -2; -1 0 10; 0 0 1];
Rtr = Tb*R*Tz*Rur % Rtr = [0 8 8 0 0; 7 7 5 5 7; 1 1 1 1 1];
plot(Rur(1,:),Rur(2,:),'k') ; axis equal; hold on
plot(Rtr(1,:),Rtr(2,:),'r') ;
Rzr = Tz*Rur 
plot(Rzr(1,:),Rzr(2,:),'g') ;
Rrr = R*Tz*Rur 
plot(Rrr(1,:),Rrr(2,:),'g') ;