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FS 09 - Prüfung 1, Y, 28. April 2009

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 1 28.April2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Die komplexe Zahlenfolge zv = [-1 i 1] ergibt beim Zeichnen einen Pfeil nach oben. Mit welcher komplexen Zahl z müssen Sie zv multiplizieren, damit der Pfeil plot(z*zv) ``nach links'', in die -Re(z) Richtung zeigt?

1b)
Bestimmen Sie die Zahlen n und m so, dass die folgendende Matrixmultiplikation legal ist: A(4xn)*B(6x4)*C(mx3). Geben Sie auch die Dimension der Resultates an.

1c)
Geben Sie die Inverse der Matrix R = [0 -1 ; 1 0] an und benützen Sie dazu die Tatsache, dass R orthogonal ist.
Geben Sie auch die Methode an, mit der Sie $R^{-1}$ bestimmt haben.

1d)
Welche Komponente des Vektors y wird beim Vorwärts-Einsetzen mit L*y=b zuerst bestimmt und wie lautet die besonders einfach aufzulösende erste Gleichung, mit welcher man sie berechnen kann?

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!

$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrrr}
c_3 & 0 & c_2 & c_4 & 0 \\
e...
..._2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}
\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

3)
Suchen sie alle komplexen Lösungen $z_k$ der Gleichung

\begin{displaymath}
z^5- 32i = 0
\end{displaymath}

4)
Die vierseitige Pyramide $A({-4}/{-4}/0)$ $B({4}/{-4}/0)$ $C({4}/{4}/0)$ $D({-4}/{4}/0)$ $S(0/0/5)$ wird mit einer Ebene geschnitten, welche durch die Punkte $A$, $B$ und $H(0/0/3)$ geht. Berechnen Sie die Durchstosspunkte Pc und Pd der Kanten CS und DS und damit die Schnittfigur A-B-Pc-Pd. Beweisen Sie, dass die Schittfigur ein Trapez ist, indem Sie zeigen, dass Pc-Pd parallel zu AB ist.

5)
In der Matrix C sind die L- und die R-Matrix zusammengepackt: auf- und oberhalb der Diagonalen befinden sich die Elemente der R-Matrix und ``echt'' unterhalb der Diagonalen stehen die Elemente der L-Matrix.
Erstellen Sie eine MATLAB-Funktion, welche eine C-Matrix als Eingangsparameter erhält und daraus die darin enthaltene L-Matrix rekonstruiert (Vergessen Sie die Einsen auf der Diagonalen nicht!)

6)
Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das rechtwinklige Dreieck ABC ($A(0/0)$, $B(8/0)$, $C(4/4)$) um $180^{\mathrm{o}}$  um den Mittelpunkt seiner Hypotenuse AB dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Dreiecks an.


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2012-03-21