FS 09 - Lösung zur Prüfung 1, G, 28. April 2009

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 28.April2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Die komplexe Zahlenfolge zv = [-1 i 1] ergibt beim Zeichnen einen Pfeil nach oben. Mit welcher komplexen Zahl z müssen Sie zv multiplizieren, damit der Pfeil plot(z*zv) ``nach rechts'', in die +Re(z) Richtung zeigt?

L1a)

Multiplizieren mit -i = exp(-i*pi/2) dreht 90 Grad im Uhrzeigersinn.

1b)

Bestimmen Sie die Zahlen n und m so, dass die folgendende Matrixmultiplikation legal ist: A(5xn)*B(3x4)*C(mx2). Geben Sie auch die Dimension der Resultates an.

L1b)

n=3 , m = 4, ABC ist 5x2

1c)

Geben Sie die Inverse der Matrix R = [0 1 ; -1 0] an und benützen Sie dazu die Tatsache, dass R orthogonal ist.
Geben Sie auch die Methode an, mit der Sie $R^{-1}$ bestimmt haben.

L1c)

R = [0 -1; 1 0], transponieren

1d)

Welche Komponente des Vektors y wird beim Vorwärts-Einsetzen mit L*y=b zuerst bestimmt und wie lautet die besonders einfach aufzulösende erste Gleichung, aus welcher man sie berechnen kann?

L1d)

$y_1$ aus $L_{11} \cdot y_1 = 1 \cdot y_1 = b_1$

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!

$${ \left( \begin{array}{rrrrr} d_4 & 0 & d_1 & 0 & d_5 \\ 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L2)

 Asel = [0 0 0 1 0; ...
         0 0 0 0 0; ...
         1 0 0 0 0; ...
         0 0 1 0 0; ...
         0 0 0 0 0] * iwmat(5) * ...
        [0 0 1 0 0
         0 0 0 0 0 
         0 0 0 0 0
         1 0 0 0 0
         0 0 0 0 1]

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen $z_k$ der Gleichung

$$z^5 +32 = 0$$

L3)

zk = 2 * exp( i*(pi/5+k*2*pi/5) )
k=0:5; z = 2* exp(j*(pi/5+k*2*pi/5)) ; z.^5

4)

Die vierseitige Pyramide $A({-4}/{-4}/0)$ $B({4}/{-4}/0)$ $C(4/4/0)$ $D({-4}/{4}/0)$ $S(0/0/5)$ wird mit einer Ebene geschnitten, welche durch die Punkte $B$, $C$ und $H(0/0/3)$ geht. Berechnen Sie die Durchstosspunkte Pd und Pa der Kanten DS und AS und damit die Schnittfigur B-C-Pd-Pa. Beweisen Sie, dass die Schittfigur ein Trapez ist, indem Sie zeigen, dass Pd-Pa parallel zu BC ist.

L4)

A = [-4 -4 0]' ; B = [4 -4 0]' ; C = [4 4 0]' ; D = [-4 4 0]' ; 
S = [0 0 5]'; H = [0 0 3]'
v = C-B , w = H-B   % v = [0 8 0]' , w = [-4 4 3]'
N = cross(v,w)       % N = [24 0 32]'
en = N/norm(N) , dkrit = en'*B   % en = [0.6 0 0.8]' ; dkrit = 2.4
%  en'*( [0 0 5] + la*[-4 -4 -5]) - dkrit = 0
%   la = (dkrit - en'*[0 0 5]')/(en'*[4 -4 -5]')
    lad = (dkrit - en'*[0 0 5]')/(en'*[-4 4 -5]')
Pd =  [0 0 5]' + lad*[-4 4 -5]'; % lad = 0.25 , Pd = [-1 1 3.75]
Pdo = Pd'
%   
    laa = (dkrit - en'*[0 0 5]')/(en'*[-4 -4 -5]')
Pa =  [0 0 5]' + laa*[-4 -4 -5]'; % laa = 0.25 , Pa = [-1 -1 3.75]
Pao = Pa'
dP = (Pd-Pa)' , dB = (C-B)'
%  Winkel (  Pd-Pa , C-B )
w = acos((Pd-Pa)'*(C-B)/norm(Pd-Pa)/norm(C-B))

5)

In der Matrix C sind die L- und die R-Matrix zusammengepackt: auf- und oberhalb der Diagonalen befinden sich die Elemente der R-Matrix und ``echt'' unterhalb der Diagonalen stehen die Elemente der L-Matrix.
Erstellen Sie eine MATLAB-Funktion, welche eine C-Matrix als Eingangsparameter erhält und daraus die darin enthaltene L-Matrix rekonstruiert (Vergessen Sie die Einsen auf der Diagonalen nicht!)

L5)

function Lbk = lunpack(Comb)
%  function Lbk = lunpack(Comb)
%   extract L- Part from L and R in Comb packed together
  [nz,ns] = size(Comb);
  Lbk = eye(nz);
  for spa = 1:ns-1
    for zei = spa+1:nz
      Lbk(zei,spa) = Comb(zei,spa);
    end
  end

6)

Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das rechtwinklige Dreieck ABC ($A(0/0)$, $B(4/0)$, $C(2/2)$) um $180^{\mathrm{o}}$  um den Mittelpunkt seiner Hypotenuse AB dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Dreiecks an.

L6)

A = [0 0 1]' ; B = [4 0 1]'; C = [2 2 1]';
M = (A+B)/2        %  [2 0 1]'
Tz = eye(3); Tz(1:2,3) = -M(1:2)
Tb = eye(3); Tb(1:2,3) = M(1:2)
R = eye(3); R(1:2,1:2) = [-1 0; 0 -1]
Dro = [A B C A]
Tt = Tb*R*Tz   % [-1 0 4; 0 -1 0; 0 0 1]
Drt = Tt*Dro   % [ 4 0 2 4; 0 0 -2 0; 1 1 1 1]