FS 09 - Prüfung 2, G, 12. Mai 2009

G   Ingenieurmathematik Prüfung 2 12.Mai2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie eine der beiden Quadratwurzeln von $+i$ an.

1b)

Mit M = [4 2 0; 0 2 0] sind die Koordinatenpaare der 3 Ecken eines Dreiecks definiert (obere Zeile x, untere y). Mit welchen MATLAB-Befehlen erreichen Sie, dass dieses Dreieck mit allen 3 Seiten unverzerrt gezeichnet wird?

1c)

Schreiben Sie ein Beispiel auf für eine 2x2 orthogonale Matrix, welche verschieden ist von der Einheitsmatrix.

1d)

Was wird vertauscht, wenn die Pivot-Kontrolle eine Vertauschung als notwendig erscheinen lässt?

2)

Geben Sie das MATLAB-Skript an zum Zeichnen einer rechtsgängigen Schraubenlinie mit der x-Achse als Schrauben-Achse, dem Anfangs-Punkt $A(0/0/4)$, dem Endpunkt $E(6/0/4)$ und 4 Umgängen.

3)

Geben Sie zwei komplexe Zahlenfolgen $pent$ und $dec$ an, welche beim Zeichnen mit plot(pent) eine geschlossene reguläre Fünfeck-Figur und mit plot(dec) ein vollständiges Zehn-Eck ergeben. Beide Figuren müssen im Einheitskreis einbeschrieben sein und beide müssen eine Ecke bei 270 Grad d.h. bei $-i$ haben.

4)

Der Quader ABCD EFGH $A({0}/{0}/0)$ $B({8}/{0}/0)$ $C({8}/{3}/0)$ $D({0}/{3}/0)$
$E({0}/{0}/4)$ $F({8}/{0}/4)$ $G({8}/{3}/4)$ $H({0}/{3}/4)$
wird von zwei zueinander parallelen Ebenen geschnitten: 1. Ebene f durch $Mab,D,H$
2. Ebene g durch $B, Mcd, F$
wobei $Mab$ der Mittelpunkt der Strecke $AB$ ist, und $Mcd$ der Mittelpunkt der Strecke $CD$.
Geben Sie die Hesse'sche Normalformen dieser beiden Ebenen an und berechnen Sie die Durchstosspunkte der Geraden $AG$ durch diese beiden Ebenen.
Die Tatsache, dass die beiden Ebenen f und g zueinander parallel sind, müssen Sie nicht nachprüfen.

5)

Erstellen Sie eine MATLAB Funktion, welche eine quadratische Matrix als Eingabe erhält und daraus (durch Bearbeitung von Einzel-Elementen im Innern einer Doppelschleife) eine antisymmetrische Matrix erstellt, bei welcher die Werte links- bzw. unterhalb der Diagonalen mit der eingegebenen Matrix identisch sind.

6)

Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das gleichseitige Dreieck ABC ($A(0/0)$, $B(4/0)$, $C(\,2\,/\,(2\sqrt{3}))$) an der Geraden $y = \sqrt{3} \cdot x$ spiegelt. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Dreiecks an.