FS 09 - Lösungen zur Prüfung 2, Y, 12. Mai 2009

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 2 12.Mai2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie eine der beiden Quadratwurzeln von $+i$ an.

YL1a)

    zsqr = exp(j*pi/4)
    tstsq = zsqr^2
    dum = input('YL1a)  weiter?');

1b)

Mit M = [6 3 0; 0 3 0] sind die Koordinatenpaare der 3 Ecken eines Dreiecks definiert (obere Zeile x, untere y). Mit welchen MATLAB-Befehlen erreichen Sie, dass dieses Dreieck mit allen 3 Seiten unverzerrt gezeichnet wird?

YL1b)

    M = [6 3 0; 0 3 0];
    MM= [M M];  %  Anfangspunkt muss nochmal vorkommen
    plot(MM(1,:),MM(2,:)); axis equal
    dum = input('YL1b)  weiter?');

1c)

Schreiben Sie ein Beispiel auf für eine 2x2 orthogonale Matrix, welche verschieden ist von der Einheitsmatrix.

YL1c)

    Oexa = [0 1; 1 0]
    Otst = Oexa'*Oexa
    dum = input('YL1c)  weiter?');

1d)

Welches Element wird bei der Pivotkontolle für die Spalte 'k' darauf geprüft, ob es nicht Null ist?

YL1d)

    disp('Diagonalelement in dieser Spalte k')
    disp('if abs(A(k,k)) > 0')
    dum = input('YL1d)  weiter?');

2)

Geben Sie das MATLAB-Skript an zum Zeichnen einer linksgängigen Schraubenlinie mit der x-Achse als Schrauben-Achse, dem Anfangs-Punkt $A(0/0/3)$, dem Endpunkt $E(6/0/3)$ und 4 Umgängen.

YL2)

   w = 0:pi/40:4*2*pi;  r = 3
   h = 6/4 , x = w*h/(2*pi);
   z = r*cos(w) ; %  z = r*cos(w) ; 
   y = r*sin(w) ; %  y = r*sin(w) ;
   figure(1); clf
   plot3(x,y,z); axis equal
   dum = input('YL2)  weiter?');

3)

Geben Sie zwei komplexe Zahlenfolgen $pent$ und $dec$ an, welche beim Zeichnen mit plot(pent) eine geschlossene reguläre Fünfeck-Figur und mit plot(dec) ein vollständiges Zehn-Eck ergeben. Beide Figuren müssen im Einheitskreis einbeschrieben sein und beide müssen eine Ecke bei 90 Grad d.h. bei $+i$ haben.

YL3)

   figure(1); clf
   wnro = 0:5;  wo = 2*pi*wnro/5  + pi/2; zo = exp(j*wo); 
   wnrh = 0:10; wh = 2*pi*wnrh/10 + pi/2; zh = exp(j*wh);
   plot(zo,'k') ; hold on ;
   plot(zh, 'r');axis equal;  hold off
   dum = input('YL3)  weiter?');

4)

Der Quader ABCD EFGH Der Quader ABCD EFGH $A({0}/{0}/0)$ $B({8}/{0}/0)$ $C({8}/{3}/0)$ $D({0}/{3}/0)$
$E({0}/{0}/6)$ $F({8}/{0}/6)$ $G({8}/{3}/6)$ $H({0}/{3}/6)$
wird von zwei zueinander parallelen Ebenen geschnitten: 1. Ebene f durch $Mab,D,H$
2. Ebene g durch $B, Mcd, F$
wobei $Mab$ der Mittelpunkt der Strecke $AB$ ist, und $Mcd$ der Mittelpunkt der Strecke $CD$.
Geben Sie die Hesse'sche Normalformen dieser beiden Ebenen an und berechnen Sie die Durchstosspunkte der Geraden $AG$ durch diese beiden Ebenen.
Die Tatsache, dass die beiden Ebenen f und g zueinander parallel sind, müssen Sie nicht nachprüfen.

YL4)

  figure(1); clf
  A = [ 0 0 0]'; B = [ 8 0 0]'; C = [ 8 3 0]'; D = [ 0 3 0]';
  E = [ 0 0 6]'; F = [ 8 0 6]'; G = [ 8 3 6]'; H = [ 0 3 6]';
  Mab = (A+B)/2; Mcd = (C+D)/2;
  Nf = cross(D-Mab,H-Mab), enf = Nf/norm(Nf)
  dkrf = enf'*Mab, dtD = enf'*D-dkrf, dtH = enf'*H-dkrf 
  eng = enf % Parallele Ebenen
  dkrg = eng'*B,  dtMcd = eng'*Mcd-dkrg, dtF = eng'*F-dkrg
  %  en'*(Vg + lam*rg) - dkrit - 0 
  %  lam = (dkrit - en'*Vg)/(en'*rg)
  laf = dkrf / (enf'*(G-A)) , DPtf = 0 +  laf * G  
  lag = dkrg / (enf'*(G-A)) , DPtg = 0 +  lag * G  
  dum = input('YL4)  weiter?');

5)

Erstellen Sie eine MATLAB Funktion, welche eine quadratische Matrix als Eingabe erhält und daraus (durch Bearbeitung von Einzel-Elementen im Innern einer Doppelschleife) eine antisymmetrische Matrix erstellt, bei welcher die Werte rechts- bzw. oberhalb der Diagonalen mit der eingegebenen Matrix identisch sind.

YL5)

  % function Apt = antsymmcop(M) 
    M = rand(5)
    [nzei,nspa] = size(M); Apt = M;
    for zei = 2:nzei
      for spa = 1:zei-1
        Apt(zei,spa) = -Apt(spa,zei); 
      end
    end
    for k = 1:nzei
      Apt(k,k) = 0;
    end    
    Apt, Tasym = Apt'+Apt
    dum = input('YL5)  weiter?');

6)

Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das gleichseitige Dreieck ABC ($A(0/0)$, $B(10/0)$, $C(\,5\,/\,(5\sqrt{3}/2))$) an der Geraden $y = \sqrt{3} \cdot x$ spiegelt. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Dreiecks an.

YL6)

   figure(1); clf
   Dori = [ 0 10 5 0; 0 0 5*sqrt(3) 0;  1 1 1 1]
   w = atand(sqrt(3))
   Rot1 = [ cosd(-w) -sind(-w) 0; sind(-w) cosd(w) 0; 0 0 1]
   Mx = [1 0 0; 0 -1 0 ; 0 0 1]
   Rot2 = [ cosd(w) -sind(w) 0; sind(w) cosd(w) 0; 0 0 1]
   Ttot = Rot2*Mx*Rot1
   Dtr = Ttot*Dori
   plot(Dori(1,:), Dori(2,:))
   hold on
   axis([-12 12 -12 12]); axis square
   plot([0 0 ],[-12 12],'k')  ;   plot([-12 12 ],[0 0],'k')
   plot([-5 15],[-5*sqrt(3) 15*sqrt(3)],'k')
   plot(Dtr(1,:), Dtr(2,:),'r')
   hold off
   dum = input('YL6)  weiter?');