HS 09/10 - Prüfung 1, B, 17. Nov. 2009

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 17.Nov.2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wieviele Nullen hat eine Diagonalmatrix der Dimension nxn mindestens?

1b)

Wie lautet die Gleichung, mit der das erste Element beim Rückwärts-Einsetzen in einer 5x5 Matrix bestimmt wird? (d.h. Ergänzen Sie $x_? = ???$)

1c)

Bestimmen Sie die die Inverse der Matrix $${ A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ 0 & -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ \end{array} \right) }$$ mit Hilfe der Angabe dass die Matrix A orthogonal ist.

1d)

Mit welchen MATLAB Befehlen erreicht man, dass die Grafik in einem quadratischen Feld gezeichnet wird und dabei die x-Werte zwischen -4 und 4 und die y-Werte zwischen 0 und 8 variieren?

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

3)

Geben Sie die MATLAB-Befehle an, mit denen ein Vektor v aus komplexen Zahlen erzeugt wird, welcher beim Aufruf plot(v); axis equal ein reguläres Achteck zeichnet, das im Kreis um $(0/0)$ mit dem Radius 5 einbeschrieben ist. Geben Sie auch die MATLAB-Befehle an zum Zeichnen des zugehörigen Umkreises.

4)

Gegeben ist ein Keil mit der Grundfläche ABCD und der Oberkante EF durch $A(0/0/0)$, $B(0/-12/0)$ , $C(5/-12/0)$, $D(5/0/0)$ und $E(0/0/5)$, $F(5/0/5)$ .
Bestimmen Sie je die Ebenengleichung der Deckfläche und der Grundfläche in der Hesse'schen Normalform, sowie die Neigung der Deckfläche!

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Quadrat ABCD mit den Ecken $A =(0/0)$, $B=(-6/6)$, $C=(-12/0)$, $D=({-6} / {-6})$ um $-90^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinn) um seinen Mittelpunkt dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten ÃBCD.
Geben Sie auch ein MATLAB-Skript an, das diese Transformation in homogenen Koordinaten durchführt und das Urbild und Bild in eine gemeinsame Grafik einzeichnet.

6)

Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien-Stücke mit Achse auf der z-Achse, welche beide im Punkt $(5/0/0)$ starten, und im Punkt $(-5/0/2)$ enden und dazwischen je eine halbe Umdrechung ausführen. Eines der Schraubenlinien-Stücke soll linksdrehend, das andere rechtsdrehend sein.
Schreiben Sie ein MATLAB-Skript zur simultanen Darstellung der beiden Kurvenstücke!