FS 10 - Lösungen zur Prüfung 1, Y, 11. Mai 2010

Y   Ingenieurmathematik Lösungen zur Prüfung 1 11.Mai2010
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wie nennt man eine Matrix für welche gilt: $A^T = A$

1b)

Geben Sie jeweils die konjugiert komplexe Zahl an zu den beiden Zahlen
$z_1 = -4 -7i$,   $z_2 = 2 * \exp(i*\pi/7)$

L1b)

$\overline{z_1} = -4 +4i$,   $\overline{z_2} = 2 * \exp(-i*\pi/7)$

1c)

Wie erreicht man in MATLAB, dass die mit plot gezeichneten Punkte mit roten Pluszeichen markiert und auch durch eine rote Linie verbunden werden?

L1c)

plot(x,y,'r+-')

1d)

Geben Sie die MATLAB - Befehle an zum Zeichnen eines räumlichen Dreiecks als geschlossene Figur, nachdem die Ecken mit dem Befehlen
P=[2 0 0]' ; Q=[0 5 0]' ; R=[0 0 1]' ;
bereits definiert wurden.

L1c)

lin = [P Q R P]
plot3(lin(1,:) ,lin(2,:), lin(3,:) ); axis equal

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & d_2 & 0 & d_1 & d_5 \\ 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L2)

A = [11:15 ; 21:25; 31:35; 41:45 ; 51:55 ]
Pl = zeros(5); Pr = zeros(5);
Pl(1,4)= 1; Pl(2,1) = 1; Pl(4,5) = 1; Pl(5,2)=1; 
Pr(2,2)= 1; Pr(1,4) = 1; Pr(5,5) = 1;
Rs = Pl * A * Pr

3)

Zwei Schraubenlinien starten beide im Punkt $(0/0/0)$ und enden beide im Punkt $(0/0/4)$. Beide haben 2Umgänge und gehen daher auch noch durch den Punkt $(0/0/2)$.
Die rechtsdrehende Schraubenlinie hat ihre in z-Richtung verlaufende Achse bei $x=0$ , $y=1.5$. Die linksdrehende Schraubenlinie hat ihre in z-Richtung verlaufende Achse bei $x = 0$, $y=-1.5$.
Bestimmen Sie die Parameter dieser beiden Schraubenlinien und geben Sie ein MATLAB-Skript an, für die 3D Darstellung dieser beiden Linen in einem Bild.

L3

ntur = 2; h = 2; r = 1.5;
w = (0:0.002:2)* 2 * pi;
z = w*h/(2*pi);
xl = r*sin(w) ;
yl = r*cos(w) -1.5;
xr = r*sin(w) ;
yr = -r*cos(w) +1.5;
figure(1)
clf
hold on
plot3(xl,yl,z,'g')
plot3(xr,yr,z,'r')
plot3([0 0 0 ], [0 0 0], [0 2 4 ],'ko')
axis equal
view(69,45)
hold off

4)

Durch die Mittelpunkte der von A ausgehenden Kanten eines Quaders ABCD EFGH
$A=(0/0/0)$ $B=(2/0/0)$ $D=(0/2/0)$ $E=(0/0/3)$ etc., (also durch MAB, MAD und MAE) wird eine Ebene g gelegt.
Bestimmen Sie diese Ebene in der Hesse'schen Normalform (d.h. durch Angabe des Normalen-Einheitsvektors en und der Test-Distanz dkrit).
Bestimmen Sie auch die zu g parallele Ebene, welche durch A geht.

L4

A=[0 0 0]' ; B = [2 0 0]' ; D = [0 2 0]'; E =[0 0 3]'
drb = [A B A D A E]
figure(1)
clf 
plot3(drb(1,:), drb(2,:), drb(3,:), 'ko-' )
hold on
axis equal
MAB = (A+B)/2
MAD = (A+D)/2
MAE =  (A+E)/2
eb = [MAB MAD MAE MAB];
plot3(eb(1,:), eb(2,:), eb(3,:), 'r' )
axis equal; hold off
v = MAD - MAB
w = MAE - MAB
N = cross(v,w)        %  [1.5 1.5 1  ]
eng = N / norm(N)    % [0.6396 0.6396 0.4268]'
dkritg= eng'*MAB     %  0.6396
dtsD = eng'*MAD -dkritg
dtsE = eng'*MAE -dkritg
enh = eng
dkrith = 0 %  Ebene durch (0/0/0) hat immer dkrit=0

5)

Geben Sie eine MATLAB Funktion an, welche für eine L-Matrix mit fester Dimension 3x3 und einen Vektor b der Dimension 3x1 den Algorithmus des Vorwärts-Einsetzens löst, der also y bestimmt aus L*y = b , ohne von Schleifenkonstruktionen Gebrauch zu machen.

L5)

function y = fix3forwsub(L,b)
  y = zeros(3,1);
%  y1 kann b1 direkt uebernehmen
  y(1) = b(1);  %  div durch 1 , weil L(1,1) = 1
 % y1 wird gebraucht weil Element links der Diag nicht 0
  y(2) = (b(2) - L(2,1)* y(1) ) 
 % y1 und y2 werden gebraucht weil Elemente links der Diag nicht 0
  y(3) = (b(3) - L(3,1)* y(1) - L(3,2)*y(2)  )

6)

Geben Sie die 3 komplexen Zahlen an, welche die Gleichung $${z_k = (\,\sqrt[3]{-27}\,)^5}$$ erfüllen.
Bei der Lösung müssen alle Teilschritte angegeben werden, ein reines Schlussresultat wird nicht bewertet!

L6)

Z0 = 27 * exp(i*pi)
z1 = 27^(1/4) * exp(i*pi/3)
z2 = 27^(1/4) * exp(i*(pi/3 +2*pi/3))
z3 = 27^(1/4) * exp(i*(pi/3 +2*2*pi/4))
p1 =  243*exp(i*5*pi/3) 
p2 =  243 * exp(i*5*(pi/3 +2*pi/3))
p3 =  243 * exp(i*5*(pi/3 +2*2*pi/3))