HS 10/11 Grundsätzliche Lösungshinweise

Grundlagen-Kenntnisse und Arbeitstechniken

Die folgenden Grundlagenkenntnisse und Arbeitstechniken werden in der Mehrzahl der Aufgaben immer wieder eingesetzt. Es ist daher unerlässlich, sich diese soweit anzueignen, dass ohne lange Verzögerung darauf zugegriffen werden kann.

Thema Matrizen

Matrizentypen kennen Einheitsmatrix, Rechtdreiecksmatrix (= obere Dreiecksmatrix), Linksdreiecksmatrix (= untere Dreiecksmatrix), symmetrische und antisymmetrische Matrizen, orthogonale Matrizem

Matrix-Matrix und Matrix-Vektor Multiplikation kennen und für kleine Dimensionen nachrechnen könnrn.

Multiplikation mit Specht-Matrix Die Multiplikation mit einer Specht-Matrix (lauter Nullen ausser einer einzigen Eins) von links bewirkt die Selektion der Zeile mit derselben Nummer wie die Spalte der Eins (Selektion bestimmt durch innen aneinanderstossende Indizes) und das Platzieren in derselben Zeile des Resultates wie die Zeile der Eins.
Die Multiplikation mit einer Specht-Matrix von rechts bewirkt die Selektion der Spalte mit derselben Nummer wie die Zeile der Eins (Selektion durch innen aneinanderstossende Indizes) und das Platzieren in derselben Spalte des Resultates wie die Spalte der Eins.

Matrizen transponieren Die Dimensionszahlen verden vertauscht und die Elemente über die Diagonale gespiegelt.

Das Indizieren verstehen In einer Matrix einzelne Elemente ansprechen (einspeichern oder herausholen oder ändern) durch Angabe der beiden Indizes.
Einen Index-Bereich, z.B. eine ganze Zeile oder eine ganze Spalte oder eine Teilmatrix bezeichnen.

Thema lineare Gleichungssysteme

Den Ablauf der Gauss-Elimination verstehen Transformation auf R-Form erstellt Nullen in Spalte 1, dann 2, dann 3 bis ndim-1, immer alle Zeilen ``echt'' unterhalb der Diagonalen.
Für jede Null werden zwei Zeilen kombiniert, zur aktuellen Zeile (mit Faktor 1) wird die Pivot-Zeile mit dem Faktor f addiert. Damit am gewünschten Ort eine Null entsteht, muss f = -a(j,k)/a(k,k) gelten.
Die gleiche Kombination b(j) = b(j) + f* b(k) muss mit den b's der rechten Seiten durchgeführt werden.
Nach Absolvieren der Rechtsdreiecks-Transformation erfolgt die Berechnung der gesuchten Lösung durch Rückwärts-Einsetzen im System R*x=btr.

Zusammenhang Gauss L-R-Zerlegung Die L-R-Zerlegung ist eine Gauss-Elimination, bei welcher ein Protokoll des Transformations-Ablaufes in der Matix L gespeichert wird.
Für eine beliebige Anzahl von b's der rechten Seiten erfolgt die Lösung durch die 2 Schritte
1) y bestimmen durch Vorwärts-Einsetzen in L*y = b
2) x berechnen mit Rückwärts-Einsetzen in R*x = y
Mit 1) ist das Mit-Transformieren jederzeit nachholbar.

Lösug mit Q-R-Zerlegung Die Matrizen, welche von der Bibliotheksprozedur [Q,R] = qr(A) geliefert werden, ergeben die Lösung zu A*x = b aus y = Q'*b und Rückwärts-Einsetzen in R*x = y

Thema komplexe Zahlen

Die Multiplikationsformel verstehen die Formel $z_1 * z_2 = r_1 * r_2 * exp(i*(w_1 + w_2))$ bedeutet,
dass die komplexe Zahl z1 bei der Multiplikation mit z2 um den zu z2 gehörenden Winkel w2 gedreht wird und dass der Betrag r1 um den Betrag r2 gestreckt oder gestaucht wird.
Speziell einfach sind aller reinen Dreh-Zahlen, bei denen der Betrag 1 ist, also vom Typ zr = exp(i*w), wobei w der Drehwinkel ist

Das komplexe Potenzieren verstehen Die aufeinanderfolgenden Potenzen einer komplexen Zahl z entstehen durch weiter-Drehen bei jeder nächsthöheren Potenz, immer um denselben Winkel w, der zur Zahl z = r*exp(iw) gehört.

Das Prinzip der mehrfachen Wurzeln verstehen Ausgangspunkt ist die Tatsache, dass jede komplexe Zahl in der Euler'schen Darstellung unendlich mehrdeutig ist
r*exp(i*w) ist auch r*exp(i*(w+k*2*pi)) für beliebige ganzzahlige Werte von k.
Das ist ohne weitere Bedeutung für das Rechnen mit komplexen Zahlen; die verschiedenen Winkel zeigen immer auf dieselbe Zahl.
Ausnahme: Beim Wurzelziehen wird der Winkel durch den Wurzelnenner dividiert z.B. durch 4. Dadurch entstehen aus den Winkelwerten von z.B. exp(i*pi), exp(i*3*pi), exp(i*5*pi) und exp(i*7*pi), welche vor der Division alle auf dieselbe Zahl (-1) zeigen beim Dividieren die 4 verschiedenen Wurzeln aus -1:
exp(i*pi/4), exp(i*3*pi/4), exp(i*5*pi/4) und exp(i*7*pi/4)
Erst bei der 5. Version, bei exp(i*9*pi/4) beginnen die Zahlen wieder mit den schon betrachteten 4 verschiedenen zusammenzufallen und es ergibt sich nahher nichts mehr Neues.

Thema Vektorgeometrie

Ortsvektor bilden aus gegebenen Koordinaten: Koordinaten als Komponenten des Ortsvektors einsetzen.

Differenzvektor bilden zwischen zwei Ortsvektoren ergibt einen normalen Differenzenvektor. v = Vektor von A nach B ist OB - OA.

Norm (Länge) eines Vektors berechnen $\mathrm{norm(v) = sqrt(v'*v)} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren (engl. dot-product) $\mathrm{dot}(u , v) = \mathrm{u'*v} = u_1* v_1 + u_2* v_2 + u_3* v_3$

Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren $u \times v = [ u_2* v_3 - u_3* v_2 ,~ u_3* v_1 - u_1* v_3 ,~ u_1* v_2 - u_2* v_1 ]'$

Mittelpunkt einer Strecke Der Ortsvektor des Mittelpunktes einer Strecke ist der Mittelwert der beiden Ortsvektoren der Endpunkte. OM = (OA + OB)/2

Schwerpunkt eines Dreiecks Der Ortsvektor des Schwerpunktes eines Dreiecks ist der Mittelwert der drei Ecken OS = (OA + OB + OC)/3

Winkel zwischen zwei Vektoren werden nach der Formel brechnet:
w = acos( u'*v/(norm(u)*norm(v)) )
Falls einer oder beide der beteiligten Vektoren Einheitsvektoren sind, entfallen die entsprechenden Divisionen durch die Norm.

Thema homogene Koordinatentransformation

Teilmatrizen zum eigentlichen Transformations-Teil Im eigentlichen Transformations-Teil (obere linke 2x2 Teilmatrix) gibt es die folgenden Fälle:
1. Keine Transformation, Identität: bei reinen Verschiebungen ist der obere linke Teil die 2x2 Einheitsmatrix I22 = [1 0 ; 0 1]
2. Achsenspiegelung an y-Achse Myax = [ -1 0 ; 0 1 ]
3. Achsenspiegelung an x-Achse Mxax = [ 1 0 ; 0 -1 ]
4. Punktspiegelung am Koordinatenursprung, identisch mit Rotation um 180 Grad um den Koordinatenursprung. MP = [ -1 0 ; 0 -1 ]
5. Rotation um den Koordinatenursprung um den Winkel w Rw = [ cos(w) -sin(w) ; sin(w) cos(w) ]

Teile der Transformationsmatrix zusammenstellen Die 2x2 Teilmatrix der eigentlichen Transformation ist links oben,
der Spaltenvektor der Verschiebungen tx,ty ist rechts daneben und
die fixe unterste Zeile ist [0 0 1]

Aufeinenderfolgende Transformationen richtig anordnen Die zu transformierenden Vektoren oder Nebeneinenderstellungen von Vektoren müssen immer ganz rechts aussen stehen.
Daher muss jede nachfolgende Transformationsmatrix von links her heranmultipliziert werden.

Spaltenvektoren zu Koordinatenmatrizen zusammenfügen Im Prinzip könnte man jeden einzelnen Ortsvektor (in homogenen Koordinaten) separat durch Multiplikation mit Transformations-Matrizen abbilden.
Die Formulierung der homogenen Koordinatentransformation ergibt aber dasselbe, wenn eine beliebige Anzahl von Spaltenvektoren nebeneinandergestellt wird und so eine (3 x npt) Matrix bildet.
Diese Koordinatenmatrizen kann man (ausser an der Dimension, die nicht quadratisch sein muss) dadurch von den Transformations-Matrizen unterscheiden, dass in der untersten Zeile lauter Einsen stehen.

Grundaufgabe Rotation in homogenen Koordinaten Das Drehen um den Winkel w, um einen Punkt xc/yc ausserhalb von (0/0) erfolgt in drei Schritten:
1. Verschieben um -xc/-yc, so, dass der gewünschte Drehpunkt in den Nullpunkt (0/0) verschoben wird.
2. Drehen um den Winkel w um (0/0) mit der Matrix Rw = [ cos(w) -sin(w) ; sin(w) cos(w) ] in der linken oberen Ecke.
3. Zurück-Verschieben um xc/yc, so, dass (0/0) in den aussen liegenden Drehpunkt xc/yc verschoben wird.

Grundaufgabe Spiegeln in homogenen Koordinaten Das Spiegeln an einer beliebigen Geraden erfolgt in 5 Schritten:
1. Verschieben eines geeignet gewählten Punktes auf der Geraden in den Nullpunkt (0/0)
2. Drehen der Geraden (d.h. der Ebene) um einen Winkel um (0/0), so dass die Gerade mit einer der Achsen übereinstimmt.
3. Spiegeln an der Achse auf welche man die Gerade soeben abgebildet hat.
4. Zurückdrehen der Geraden (d.h. der Ebene) um 0/0 von der Koordinatenachse in die ursprüngliche Richtung.
5. Zurück-Verschieben des Punktes (0/0) auf den ursprünglich gewählten Punkt.
Falls die Gerade durch den Nullpunkt geht, entfallen 1 und 5. Falls sie parallel zu einer Koordinaten-Achse liegt entfallen 2 und 4.

Einzel-Kommentare zu den Aufgaben

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Beim Matrizenprodukt P=A*B*C*D sind die Dimensionen von A (4x4), von B(wx5),
von C (5xu) und von D(3x6). Bestimmen Sie w und u, so dass das Produkt legal ist, und geben Sie die Dimensionen von P an.

Bem1a)

Die Regeln der Matrix-Multiplikation anwenden (innen aneinanderstossende Dimensionszahlen müssen übereinstimmen und die äusseren Dimensionen ergeben die Dinmensionszahlen des Produktes). Aufgabe lesen! und 2. Teilfrage nicht vergessen.

1b)

Geben Sie zwei komplexe Zahlen z1 und z2 an, so dass eine beliebige Zahl z durch Multiplizieren mit z1 um 120 Grad und mit z2 um 270 Grad in der Gauss'schen Zahlenebene gedreht wird (bei gleichbleibendem Betrag). z1, z2 können in beliebiger Form angegeben werden.

Bem1b)

Reines Drehen erfolgt mit komplexen Zahlen des Typs 1*exp(i*w) , wobei der Winkel w in radian angegeben werden muss. Also z1 = exp(i*2*pi/3) und z2 = exp(i*3*pi/2)

1c)

Bestimmen Sie den Wert $a$ in der untenstehenden Eliminationsmatrix $E$, so dass $E*A$ eine Rechtsdreiecks-Matrix ist. Geben Sie auch diese Matrix $R=E*A$ an!
$E = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ a & 1 \\ \end{array} \right... ...A = \left( \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Bem1c)

Jeder Gauss-Schritt entspricht einer Multiplikation von links mit einer derartigen Eliminationsmatrix. Die zu bearbeitende Zeile wird mit dem Faktor 1 übernommen und dazu die Pivotzeile mit dem Kombinationsfaktor a (oder auch f genannt) dazugezählt.
Der Faktor a wird so gewaehlt, dass am gewünschten Ort eine Null entsteht.
Hier ist also a = -1/3 und somit R = [3 6 ; 0 2].

1d)

Geben Sie zum Vektor v = [3 ; 1] die beiden Produkte (Skalarprodukt) s = v'*v und (dyadisches Produkt) Mv = v*v' an!

Bem1d)

Skalarprodukt: u1*v1 + u2*v2 = 3*3 + 1*1 = 10
dyadisches Produkt Mv = [3*3 3*1 ; 1*3 1*1] = [ 9 3 ; 3 1]

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_1 & a... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

Bem2)

Aufspalten in Spechtmatrizen!
extbfPl: 1. Zeile lauter Nullen;
2. Zeile platziert die erste des Originals, also Pl(2,1) = 1;
in 3. Zeile wird die 4. des Originals geholt: Pl(3,4)=1;
4. Zeile Nullen ;
5. Zeile holt 2. des Originals, also P5,2) = 1.
Pr: für 1. Sp die 1. des Originals P1(1,1) = 1;
für 2. Sp die 4. des Originals, also P(4,2) = 1;
für 3. Sp die 2. des Originals, also P(2,3) = 1;
für 4. Sp die 3. des Originals, also P(3,4) = 1;
für 5. Sp die 5. des Originals, also P(5,5) = 1;

3)

Eine rechtsgängige Schraubenlinie mit der Achse auf der z-Achse startet im Punkt $({3}/{-3}/0)$ und endet im Punkt $({3}/{-3}/6)$. Sie hat 3 Umgänge und geht daher auch noch durch die Punkte $({3}/{-3}/2)$ und $({3}/{-3}/4)$. Bestimmen Sie die Parameter-Darstellung der Schraubenlinie. Achten Sie auf den richtigen Startwinkel, damit die Kurve durch die vorgegebenen Punkte geht! Bestimmen Sie auch die 3 Punkte, der Schraubenlinie, welche in der yz-Halb-Ebene mit positivem y liegen.

Bem3)

Im Grundriss erscheint die Schraubenlinie als Kreis.
Mit dem Einzeichnen der Punkte und der Achsenposition im Grundriss werden der Radius und der Anfangswinkel bestimmt.
Für Punkte auf anderen Winkelpositionen muss der Anstieg aus der Winkeldifferenz zwischen Anfangspunkt und zu bestimmendem Punkt sowie der Ganghöhe bestimmt werden.

4)

In Oktaeder NESW-TB (Nord, East, Sued, West, Top, Bottom)
$N=(0/4/0)$, $E=(4/0/0)$, $S=(0/{-4}/0)$, $W=({-4}/0/0)$, $T=(0/0/4)$, $B=(0/0/{-4})$
werden zuerst die Mittelpunkte MST und MNT der Kanten ST und NT bestimmt. Dann soll die Hesse'sche Normalform der Ebene durch die Punkte E, MST, MNT bestimmt werden.
Berechnen Sie damit den Abstand der Punkte T, W und $MH = (0/0/2)$ von der soeben bestimmten Ebene.

Bem4)

1. Mittelpunkte der Strecken ST und NT bestimmen,
2. Vektoren in Ebene z.B u = MST - E, v = MNT - E;
3. Kreuzprodukt N = uxv;
4. Norm von N bestimmen;
5. en = N/norm(N);
6. dkrit bestimmen, mit Ortsvektor von Punkt in Ebene, z.B. aus en'*E;
7. Nacheinander Punkte T, W, MH am Platz von OP einsetzen in Formel en'*OP - dkrit.

5)

Das Quadrat ABCD $A=(2/0)$, $B=(6/0)$, $C=(6/4)$, $D=(2/4)$ soll mit homogener Koordinatentransformation um den Punkt A um 180 Grad gedreht werden.
Anschiessend ist das gedrehte Quadrat noch an der x-Achse zu spiegeln.
Geben Sie alle Teil-Transformations-Matrizen fuer diese Abbildungen in homogenen Koordinaten der Ebene an, sowie die Endkoordinaten der Eckpunkte und die Gesamt-Transformationsmatrix dieser Abbildungs-Abfolge.
Es werden in konkreten Zahlenwerten angegebene Matrizen und Vektoren (bzw. Koordinatenpaare) verlangt.

Bem5)

1. Spaltenvektoren zu A, B, C, D, (ev. nochmals A) nebeneinanderstellen;
2. Drehung um Äusseren Punkt A mit 3 Transformationsmatrizen formulieren
3. Spiegelung an x-Achse dazufügen;
4. Gesamt-Matrix in richtiger Reihenfolge zusammenmultiplizieren;
5. Koordinatenmatrix von links mit Gesamt-Transformation multiplizieren

6)

Im Würfel ABCD EFGH
$A=(0/0/0)$ $B=(6/0/0)$ $D=(0/6/0)$ $E=(0/0/6)$ etc., soll der der Mittelpunkt MCG der Kante CG berechnet werden und dann die beiden Winkel
a) zwischen den Vektoren B-MCG und B-G und b) zwischen den Vektoren B-MCG und B-H

Bem6)

1) Mittelpunkt von CG bestimmen;
2) Vektoren u = MCG - B und v = G - B;
3) Winkel zwischen u und v nach Formel berechnen;
4) Vektoren u = MCG - B und v = H - B;
5) Winkel zwischen u und v nach Formel berechnen;