- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Beim Matrizenprodukt P=A*B*C*D sind die Dimensionen
von A (4x7), von B(wx5),
von C (5xu) und von D(4x6).
Bestimmen Sie w und u, so dass das Produkt legal ist, und
geben Sie die Dimsnsionen von P an
- L1a)
- w = 7, u = 3, 4 = (4x6)
- 1b)
- Geben Sie zwei komplexe Zahlen z1 und z2 an, so dass eine beliebige Zahl z
durch Multiplizieren mit z1 um 30 Grad und mit z2 um 180 Grad in
der Gauss'schen Zahlenebene gedreht wird (bei gleichbleibendem Betrag).
z1, z2 können in beliebiger Form angegeben werden.
- L1b)
- z1 = exp(i*pi/6), z2 = -1
- 1c)
- Bestimmen Sie den Wert in der
untenstehenden Eliminationsmatrix , so dass
eine Rechtsdreiecks-Matrix ist. Geben Sie auch diese Matrix
an!
- L1c)
- a = -0.5
- 1d)
- Geben Sie zum Vektor
v = [4 ; 2]
die beiden Produkte (Skalarprodukt) s = v'*v
und
(dyadisches Produkt)
Mv = v*v'
an!
- L1d)
-
- 2)
- Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen und , so dass
die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
- L2)
-
- 3)
- Eine rechtsgängige Schraubenlinie mit der Achse auf der
z-Achse startet im Punkt
und endet im Punkt .
Sie hat 3 Umgänge und geht daher auch noch durch die Punkte
und .
Bestimmen Sie die Parameter-Darstellung der Schraubenlinie.
Achten Sie auf den richtigen
Startwinkel, damit die Kurve
durch die vorgegebenen Punkte geht! Bestimmen Sie auch die 3 Punkte,
der Schraubenlinie, welche in
der xz-Halb-Ebene mit positivem x liegen.
- L3)
t = 0:pi/100:6*pi ; gh = 2;
x = 2*sqrt(2)*cos(t + 3*pi/4) + 0
y = 2*sqrt(2)*sin(t + 3*pi/4) + 0
z = t*gh/(2*pi)
plot3(x,y,z)
axis equal
hold on
plot3([-2 -2 -2 -2 ],[2 2 2 2],[0 2 4 6],'ro')
% + xz Ebene bei t+3*pi/4 = 2*pi, also bei t=5*pi/4
xe = 2*sqrt(2), ye = 0, ze = 5*pi/4*gh/(2*pi) % ze = 0.75
plot3([xe,xe,xe],[ye,ye,ye],[ze ze+2 ze+4],'mo')
hold off
- 4)
- In Oktaeder NESW-TB (Nord, East, Sued, West, Top, Bottom)
, , , ,
,
werden zuerst die Mittelpunkte MET und MWT der Kanten WT und ET bestimmt.
Dann soll die Hesse'sche Normalform der Ebene durch die
Punkte S, MET, MWT
bestimmt werden.
Berechnen Sie damit den Abstand der Punkte T, N und von der
soeben bestimmten Ebene.
- L4)
N = [0 4 0]'; E = [4 0 0]'; S = [0 -4 0]';
W = [-4 0 0]'; T = [0 0 4]'; B = [0 0 -4]';
MWT = (W+T)/2,MET = (E+T)/2
u = MWT-S, v = MET - S
No = cross(u,v)
en = No/norm(No)
dkrit = en'*S
dT = en'*T - dkrit
dN = en'*N - dkrit
MH = [0 0 2]'
dMH = en'*MH -dkrit
Oc = [S T N B S E T W B E N W S];
Cl = [S MWT MET S]
plot3(Oc(1,:),Oc(2,:),Oc(3,:),'k')
hold on ; axis equal
plot3(Cl(1,:),Cl(2,:),Cl(3,:),'r')
hold off
view(12,8)
MWT =
-2
0
2
MET =
2
0
2
u =
-2
4
2
v =
2
4
2
No =
0
8
-16
en =
0
0.4472
-0.8944
dkrit =
-1.7889
dT =
-1.7889
dN =
3.5777
MH =
0
0
2
dMH =
0
- 5)
- Das Quadrat ABCD
, , ,
soll mit homogener Koordinatentransformation
um die Ecke B um 180 Grad gedreht werden.
Anschiessend ist das gedrehte Quadrat noch an der x-Achse zu spiegeln.
Geben Sie alle Teil-Transformations-Matrizen fuer diese Abbildungen
in homogenen Koordinaten der Ebene an, sowie die Endkoordinaten
der Eckpunkte und die
Gesamt-Transformationsmatrix dieser Abbildungs-Abfolge.
Es werden in
konkreten Zahlenwerten angegebene Matrizen und Vektoren (bzw.
Koordinatenpaare) verlangt.
- L5)
Qi = [2 5 5 2; 0 0 3 3 ; 1 1 1 1 ]
Tz = [1 0 -5; 0 1 0; 0 0 1]
Tb = [1 0 5; 0 1 0; 0 0 1]
R = [-1 0 0; 0 -1 0 ; 0 0 1]
M = [1 0 0; 0 -1 0 ; 0 0 1]
Ttot = M*Tb*R*Tz
Qz = Tz*Qi
Qzr = R*Qz
Qr = Tb * Qzr
Qf = M*Qr
stdhcaxis
plothclin(Qi,'g') ; plothclin(Qz,'b')
plothclin(Qzr,'m') ; plothclin(Qr,'r')
plothclin(Qf,'k') ; hold offQi =
2 5 5 2
0 0 3 3
1 1 1 1
Tz =
1 0 -5
0 1 0
0 0 1
Tb =
1 0 5
0 1 0
0 0 1
R =
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
M =
1 0 0
0 -1 0
0 0 1
Ttot =
-1 0 10
0 1 0
0 0 1
Qz =
-3 0 0 -3
0 0 3 3
1 1 1 1
Qzr =
3 0 0 3
0 0 -3 -3
1 1 1 1
Qr =
8 5 5 8
0 0 -3 -3
1 1 1 1
Qf =
8 5 5 8
0 0 3 3
1 1 1 1
- 6)
- Im Würfel
ABCD EFGH
etc.,
soll der der Mittelpunkt MCG, der Kante CG berechnet werden und dann
die beiden Winkel
a) zwischen den Vektoren D-MCG und D-G und
b) zwischen den Vektoren D-MCG und D-F
- L6)
A=[0 0 0]', B=[4 0 0]',
C=[4 4 0]', D=[0 4 0]',
E=[0 0 4]', F=[4 0 4]',
G=[4 4 4]', H=[0 4 4]',
MCG = (C+G)/2
uab = MCG - D
va = G - D
vb = F - D
wa = acosd(uab'*va/norm(uab)/norm(va))
wb = acosd(uab'*vb/norm(uab)/norm(vb))
MCG =
4
4
2
uab =
4
0
2
va =
4
0
4
vb =
4
-4
4
wa =
18.4349
wb =
39.2315