HS 11/12 - Prüfung 1, 24. Nov. 2011

Ingenieurmathematik Prüfung 1 24. Nov. 2011
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Zerlegen Sie die Matrix M = [-1 1 -1 ; 3 0 2; 2 -2 4] in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil: M = S + A mit S' = S und A' = -A.

1b)

Bestimmen Sie den Wert von von f in der Matrix E so, dass Die Matrix R = E*A eine 3x3 Rechtsdreiecksmatrix wird. (letzter von 3 Schritten der Gauss-Elimination)
E = [1 0 0; 0 1 0; 0 f 1]; A = [-1 3 2; 0 2 2; 0 4 2];

1c)

Bestimmen Sie die Inverse zur Matrix P = [0.8 -0.6 ; 0.6 0.8] unter Verwendung der Information, dass P orthogonal ist.

1d)

Wie gross ist die grösstmögliche Anzahl Elemente, mit Werten verschieden von Null, in einer nxn Dreiecksmatrix?

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\left( \begin{array}{rrrrr} e_5 & e_2 & e_1 & 0 & e_3 \\ a_5 & a_2 & a_1 &... ...1 & e_2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr$

3)

Im Quader mit den Ecken ABCD EFGH
$A =(-2/0/0)$, $B =(2/0/0)$, $C =(2/3/0)$, $D =(-2/3/0)$,
$E =(-2/0/1.8)$, $F =(2/0/1.8)$, $G =(2/3/1.8)$, $H =(-2/3/1.8)$,
ist die Ebene durch die Punkte AFH in Hesse'scher Normalform zu bestimmen.
Anschilessend sollen die Abstände der Punkte E, B und C von dieser Ebene berechnet werden.

4)

Eine rechtsdrehende und eine linksdrehende Schraubenlinie, beide mit vertikaler Achse starten beide beim Punkt $(0/10/0)$ und enden beim Punkt (10/0/2). Besimmen Sie die Achsenpositionen xcl und ycl, bzw. xcr, xcr und die Radien rl und rr, sowie die Ganghöhen ghl und ghr unter Verwendung der Information, dass beide zwischen Anfangs- und Endpunkt je eine Vierteldrehung durchlaufen.
Hinweis: Zeichnen Sie einen Grundriss dieser Schraubenlinien!

5)

Das Quadrat mit den Ecken $A =(-8/0)$, $B =(-4/0)$, $C=(-4/4)$, $D=(-8/4)$ soll um seinen Mittelpunkt um 90 Grad gedreht werden. Geben Sie alle drei Teil-Transformationsmatrizen für diese Abbildungen in homogenen Koordinaten an und berechnen Sie die Gesamt-Transformationsmatrix zur Abbildung von A, B, C, D
in Ar, Br, Cr, Dr!
Berechnen Sie anschliessend auch die Gesamt-Transformation für eine Drehung um den Mittelpunkt um 180 Grad!

6)

Schreiben Sie die einzelnen Berechnungs-Schritte mitsamt den Teilresultaten der Reihe nach auf, mit welchen das Gleichungssystem Q*R*x = b mit der orthogonalen Matrix Q = [0.6 0.8 ; -0.8 0.6] und der Rechtsdreiecks-Matrix R = [1 2 ; 0 2] für die rechten Seiten b = [5 ; 10] gelöst wird.
Die Angabe der Teilschritte inklusive der verwendeten Teil-Gleichungen ist obligatorisch, denn dies ist nicht nur eine Taschenrechner-Übung.

M-Files zur Prüfung 1