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Ingenieurmathematik Prüfung 2
15. Dez. 2011
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe,
40 Pt. = N.6.
- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Geben Sie die Normalengleichung
N*p = b
an für das Fit-Problem, dessen
Fehlergeichung A*p = y lautet,
wobei
A = [-2 1; -1 1 ; 0 1; 1 1]
und y = [4; 3; 3; 2]
sind.
- 1b)
- Bestimmen Sie den Wert des Parameters p so, dass
die beiden Vektoren
u = [4; -2]
und v = [1; p]
zueinander ortogonal sind.
- 1c)
- Welche Matrix in homogenen Koordinaten der Ebene bewirkt eine
Achsenspiegelung an der y-Achse?
- 1d)
- Geben Sie eine 4x4 Matrix an, welche bei Multiplikation von links her
die erste und die dritte Zeile der multiplizierten Matrix vertauscht
und die 2. und 4. Zeile an ihrem Platz lässt.
- 2)
- Bestimmen Sie im Würfel mit den Ecken ABCD EFGH
A = (-4/-4/0), B = (4/-4/0), C = (4/4/0), D = (-4/4/0)
,
E = (-4/-4/8), F = (4/-4/8), G = (4/4/8), H = (-4/4/8)
,
den Winkel zwischen den beiden Vektoren u = Verbindung Mittelpunkt AE zu Ecke C
und v = Verbindung Mittelpunkt AE zu Mittelpunkt FG
- 3)
- Bestimmen Sie im Oktaeder mit den 6 Ecken
N = (2/2/0)
,
E = (4/0/0)
,
S = (2/-2/0)
,
W = (0/0/0)
und
T = (2/0/2)
,
B = (2/0/-2)
die Ebene, welche durch die Punkte S und W, sowie den Mittelpunkt
der Kante
NB geht, in der Hesse'schen Normalform. (Angabe von en1 und dkrit1)
Zeigen Sie anschliessend, dass der Mittelpunkt der Kante EB ebenfalls in
dieser Ebene liegt.
Bestimmen Sie ebenfalls die Referenz-Angaben en2 und dkrit2 für die
dazu parallele Ebene durch E, N, und die Mittelpunkte ST und WT.
- 4)
- Das Quadrat mit den Ecken
, , ,
soll an der Geraden gespiegelt werden
Geben Sie alle drei Teil-Transformationsmatrizen
für diese Abbildungen
in homogenen Koordinaten an und berechnen Sie
die Gesamt-Transformationsmatrix zur Abbildung von A, B, C, D
in Am, Bm, Cm, Dm.
Berechnen Sie auch Am, Bm, Cm und Dm.
- 5)
- Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Lösung der
untenstehenden Optimierungsaufgabe mit Hilfe
der Lagrange-Multiplikatoren.
Zielfunktion: Z = 4x^2 + 2y^2 + 8z^2
Nebenbedingung: 3*x + 5*y - z = 9
Geben Sie auch die zugehörige 4x4 Matrix und den Vektor
der rechten Seiten an, welche dieses lineare Gleichungssystem
beschreiben!
- 6)
- Schreiben Sie die einzelnen Berechnungs-Schritte mitsamt den Teilresultaten
der Reihe nach auf,
mit welchen das Gleichungssystem Q*x = b mit der
orthogonalen Matrix
Q = [0.6 0 0.8 0 ; 0 -0.8 0 -0.6 ; -0.8 0 0.6 0; 0 0.6 0 -0.8]
für die rechten Seiten b = [2 ; 4; 8; 10]
gelöst wird.
Sie müssen die Tatsache verwenden, dass Q orthogonal ist.
Die Angabe der Teilschritte inklusive der verwendeten Teil-Gleichungen
ist obligatorisch, denn dies ist nicht nur eine Taschenrechner-Übung.
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