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HS 11/12 -L ösungen zur Prüfung 2

Ingenieurmathematik Prüfung 2 15. Dez. 2011
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie die Normalengleichung N*p = b an für das Fit-Problem, dessen Fehlergeichung A*p = y lautet,
wobei A = [-2 1; -1 1 ; 0 1; 1 1] und y = [4; 3; 3; 2] sind.

L1a)
N = A'*A = [6 -2; -2 4] b = [ -9; 12]

1b)
Bestimmen Sie den Wert des Parameters p so, dass die beiden Vektoren u = [4; -2] und v = [1; p] zueinander ortogonal sind.

1b)
u'*v = 4 -2*p = 0 p = 2

1c)
Welche Matrix in homogenen Koordinaten der Ebene bewirkt eine Achsenspiegelung an der y-Achse?

1c)
[-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]

1d)
Geben Sie eine 4x4 Matrix an, welche bei Multiplikation von links her die erste und die dritte Zeile der multiplizierten Matrix vertauscht und die 2. und 4. Zeile an ihrem Platz lässt.

1d)
[0 0 1 0; 0 1 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 1]

2)
Bestimmen Sie im Würfel mit den Ecken ABCD EFGH
A = (-4/-4/0), B = (4/-4/0), C = (4/4/0), D = (-4/4/0) ,
E = (-4/-4/8), F = (4/-4/8), G = (4/4/8), H = (-4/4/8) ,
den Winkel zwischen den beiden Vektoren u = Verbindung Mittelpunkt AE zu Ecke C und v = Verbindung Mittelpunkt AE zu Mittelpunkt FG

L2)
u = [8 8 -4] , v = [ 8 4 4] cosw = 0.6804 w = 47.124 Grad

3)
Bestimmen Sie im Oktaeder mit den 6 Ecken
N = (2/2/0) , E = (4/0/0) , S = (2/-2/0) , W = (0/0/0) und
T = (2/0/2) , B = (2/0/-2)
die Ebene, welche durch die Punkte S und W, sowie den Mittelpunkt der Kante NB geht, in der Hesse'schen Normalform. (Angabe von en1 und dkrit1)
Zeigen Sie anschliessend, dass der Mittelpunkt der Kante EB ebenfalls in dieser Ebene liegt.
Bestimmen Sie ebenfalls die Referenz-Angaben en2 und dkrit2 für die dazu parallele Ebene durch E, N, und die Mittelpunkte ST und WT.

Weitere Lösungen siehe pr2h11sol.m

4)
Das Quadrat mit den Ecken $A =(-2/6)$, $B =(1/3)$, $C=(4/6)$, $D=(1/9)$ soll an der Geraden $y = 3$ gespiegelt werden Geben Sie alle drei Teil-Transformationsmatrizen für diese Abbildungen in homogenen Koordinaten an und berechnen Sie die Gesamt-Transformationsmatrix zur Abbildung von A, B, C, D in Am, Bm, Cm, Dm.
Berechnen Sie auch Am, Bm, Cm und Dm.

5)
Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Lösung der untenstehenden Optimierungsaufgabe mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren.
Zielfunktion: Z = 4x^2 + 2y^2 + 8z^2
Nebenbedingung: 3*x + 5*y - z = 9
Geben Sie auch die zugehörige 4x4 Matrix und den Vektor der rechten Seiten an, welche dieses lineare Gleichungssystem beschreiben!

6)
Schreiben Sie die einzelnen Berechnungs-Schritte mitsamt den Teilresultaten der Reihe nach auf, mit welchen das Gleichungssystem Q*x = b mit der orthogonalen Matrix
Q = [0.6 0 0.8 0 ; 0 -0.8 0 -0.6 ; -0.8 0 0.6 0; 0 0.6 0 -0.8] für die rechten Seiten b = [2 ; 4; 8; 10] gelöst wird.
Sie müssen die Tatsache verwenden, dass Q orthogonal ist. Die Angabe der Teilschritte inklusive der verwendeten Teil-Gleichungen ist obligatorisch, denn dies ist nicht nur eine Taschenrechner-Übung.

L6)
x = Q'*b = -5.2 2.8 6.4 -10.4


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2012-03-21