WS 2001/02 - Prüfung 1, 5.Dez.2001

Ingenieurmathematik Prüfung 1 5.Dez.2001
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, Zwischenresultate obligatorisch, Max.6*8 P., 40 P. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welche Bedeutung hat der Begriff der linearen Abhängigkeit in der Diskussion der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen?

1b)

Welche Dimensionen müssen die Matrizen B und D haben, damit das Produkt A*B*C*D*E definiert ist? (A = (4x5), C = (7x2)), E = (3x1)) .

1c)

Wie heisst der Fachbegriff für eine Matrix, welche durch das Transponieren in sich selbst übergeht?

1d)

Wie nennt man die Matrizenform, die sich als Resultat des ersten Hauptteils des Gauss-Algorithmus ergibt, bevor man mit dem Rückwarts-Einsetzen beginnen kann?

2)

Stellen Sie die Gleichungen auf, um die Ströme im nebenstehenden Widerstands-Netz zu berechnen!

3)

Schreiben Sie ein Programm in Matlab-Code zum Erstellen einer oberen Dreicks-Matrix der Dimension nxn, welche auf der Diagonalen lauter 1-en, direkt darüber lauter 2-er, dann 3-er aufweist, etc, bis zur rechten oberen Ecke, in welcher der Wert 'n' steht!

4)

Die drei Vertexpunkte A(4/4), B(4/2), C(5/2) definieren eine ``L''-Figur. Spiegeln Sie diese Figur (bzw die 3 Vertex-Punkte) durch Matrix-Vektor-Multiplikation
a) an der y-Achse, und dann das Resultat noch an der x-Achse;
b) führen Sie eine Punktspiegelung am Koordinaten-Ursprung durch.
Wichtig! Schreiben Sie alle verwendeten Matrizen- und Vektor-Operationen auf.

5)

Bestimmen Sie alle Elemente der unbekannten Matrix $\mathbf{M}$:

$$\left( \begin{array}{rrrrr} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24... ...51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55}\\ \end{array} \right)$$

6)

Ein Feder-Element aus Stahldraht hat die Form einer 3-dimensionalen Lissajous Figur: Auf einer Zylinder-Oberfläche mit dem Radius 5 mm bewegt sich die Linie in z-Richtung sinusförmig auf- und ab, so dass bei einem Umlauf drei obere und drei untere Punkte entstehen, deren Ebenen 4 mm Distanz aufweisen.
Entwickeln Sie die Parameterdarstellung dieser Raumkurve in den 3 Koordinaten x(t), y(t) und z(t) !