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R
Ingenieurmathematik Prüfung 1
2.Juli2003
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe,
40 Pt. = N.6.
- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine symmetrische Matrix der Dimension
nxn auf?
- L:
-
- 1b)
- Wie nennt man eine quadratische Matrix
für welche gilt ?
- L:
- antisymmetrisch
- 1c)
- Nennen Sie zwei Beispiele für dreifache Produkte derselben
Rechtecksmatrix A und ihrer Transponierten A' in der Art von A'*A*A
für welche die Matrix-Multiplikation bei beliebiger Rechtecksmatrix A
legal ist.
(Achtung! das Beispiel zeigt nur das Prinzip und ist nicht legal!)
- L:
- A'*A*A', A*A'*A
- 1d)
- Wie erreicht man in Matlab, dass
nachfolgende zusätzliche plot()-Aufrufe in dasselbe
Bild gezeichnet werden?
- L:
- hold on
- 2)
- Geben Sie die Abfolge der einzelnen
Rechenschritte an, welche für ein allgemeines
2x2-System für das die L-R-Zerlegung A=L*R vorliegt
die Lösung x des Gleichungssystems A*x=b liefern.
Die vorgegebenen Werte sind also ,
, , sowie .
- L:
- Vorwärts-Einsetzen:
,
Rückwärts-Einsetzen:
,
- 3)
- Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das
eine nxn obere Dreiecksmatrix mit Werten füllt, welche dem
Zeilenindex entsprechen. Zusätzlich sollen auf der Diagonalen, in der ersten
Zeile
und in der letzten (d.h. der n-ten) Spalte Nullen stehen.
- L:
- M=zeros(n)
for zei=2:n-2
for spa = zei+1:n-1
M(zei,spa) = zei;
end
end
- 4)
- Bestimmen Sie eine Ebene durch die Punkte A(5/0/0) und B(0/5/0)
C(0/0/h)
so dass der Winkel zwischen dieser Ebene und der x-y-Ebene 30
beträgt. und suchen Sie den Wert für h.
(Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwichen den Normalenvektoren.)
Stellen Sie die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen
Normalform dar und bestimmen Sie den Abstand des
Koordinatenursprungs von dieser Ebene.
- L:
- ac = [-5 0 h]', bc = [0 -5 h]
N = [5*h 5*h 25]', Nxy = [0 0 1]
Nxy'*N = 25 = cos(30)* norm(N) = 0.866 *5*sqrt(2*h*h+25)
h = 2.0412
N=[10.2060 10.2060 25]' ; en = [0.3535 0.3535 0.866];
Hesse'sche Normalform
, d= 1.767
- 5)
- Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen
und die Gesamt-Transformations-Matrix,
in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den
Rhombus mit den Ecken
A=(5/6), B=(4/3), C=(5/0) D=(6/3) um +90 (im
Gegenuhrzeigersinnn) um die Ecke A dreht. Bestimmen Sie auch die
gedrehten Koordinaten A'B'C'D'.
- L:
- T1 = [1 0 -5; 0 1 -6; 0 0 1]; T2 = [0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1]
T3 = [1 0 5; 0 1 6; 0 0 1];
TT = [0 -1 11; 1 0 1; 0 0 1]
A'=(5/6), B'=(8/5), C'=(11/6), D'=(8/7)
- 6)
- Suchen Sie die Parameter zur unten gezeichneten archimedischen
Spirale durch die Punkte (0/-2) und (0/-6)
und geben Sie ein Matlab-Skript an, um diese
in kartesischen Koordinaten zu zeichnen.
- L:
- A) r(-pi/2) = c*(-pi/2 + w0) = 2 w0 = (2 + c*pi/2)/c
B) r(-5*pi/2) = c*(-5*pi/2 + w0) = 6 c*(-5*pi/2)+(2 + c*pi/2) = 6
c*(-4*pi/2)= 4 c = -2/pi w0 = -pi/2
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