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SS 03 - Lösungen zur Prüfung 1, G, 2.Juli2003

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 2.Juli2003
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine antisymmetrische Matrix der Dimension nxn auf?

L:
$n^2/2 - n/2$

1b)
Nennen Sie zwei Beispiele für dreifache Produkte derselben Rechtecksmatrix A und ihrer Transponierten A' in der Art von A'*A*A für welche die Matrix-Multiplikation bei beliebiger Rechtecksmatrix A legal ist. (Achtung! das Beispiel zeigt nur das Prinzip und ist nicht legal!)

L:
A'*A*A', A*A'*A

1c)
Der Operator ``.$\backslash$'' ist eigentlich überflüssig Wie könnte man $a.\backslash b$ ohne diesen Operator formulieren?

L:
b./a

1d)
Wie nennt man eine quadratische Matrix für welche gilt $A^T = A$?

L:
symmetrisch

2)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine nxn obere Dreiecksmatrix mit Werten füllt, welche dem Spaltenindex entsprechen. Zusätzlich sollen auf der Diagonalen, in der ersten Zeile und in der letzten (d.h. der n-ten) Spalte Nullen stehen.

L:
M=zeros(n)
for zei=2:n-2
  for spa = zei+1:n-1
    M(zei,spa) = spa;
  end
end

3)
Bestimmen Sie eine Ebene durch die Punkte A(4/0/0) und B(0/4/0) C(0/0/h) so dass der Winkel zwischen dieser Ebene und der x-y-Ebene 30$^{\mathrm{o}}$  beträgt. und suchen Sie den Wert für h. (Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwichen den Normalenvektoren.) Stellen Sie die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen Normalform dar und bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von dieser Ebene.

L:
ac = [-4 0 h]', bc = [0 -4 h]
N = [4*h 4*h 16]', Nxy = [0 0 1]
Nxy'*N = 16 = cos(30$^{\mathrm{o}}$)* norm(N) = 0.866 *4*sqrt(2*h*h+16)
h = 1.633
N=[6.532 6.532 16]' ; en = [0.3536 0.3536 0.866];
Hesse'sche Normalform $e_n'*OP - 1.4142 = 0$, d= 1.4142

4)
Geben Sie die Abfolge der einzelnen Rechenschritte an, welche für ein allgemeines 2x2-System für das die L-R-Zerlegung A=L*R vorliegt die Lösung x des Gleichungssystems A*x=b liefern. Die vorgegebenen Werte sind also $l_{21}$, $r_{11}$ $r_{12}$, $r_{22}$, sowie $b_1,~ b_2~$.

L:
Vorwärts-Einsetzen: $y_1 = b_1$ , $y_2 = b2 - l_{21}*y_1$
Rückwärts-Einsetzen: $x_2 = y_2 / r_{22}$ , $ x_1 = (y_1 - r_{12}*x_2) / r_{11} $

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den Rhombus mit den Ecken A=(10/10), B=(8/5), C=(10/0) D=(12/5) um -90$^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Ecke A dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'D'.

L:
T1 = [1 0 -10; 0 1 -10; 0 0 1]; T2 = [0 1 0; -1 0 0; 0 0 1] T3 = [1 0 10; 0 1 10; 0 0 1];
TT = [0 1 0; -1 0 20; 0 0 1]
A'=(10/10), B'=(5/12), C'=(0/10), D'=(5/8)

6)
Suchen Sie die Parameter zur unten gezeichneten archimedischen Spirale durch die Punkte (0/1) und (0/5) und geben Sie ein Matlab-Skript an, um diese in kartesischen Koordinaten zu zeichnen.
\includegraphics[width=4cm, clip]{aspig}

L:
A) r(pi/2) = c*(pi/2 + w0) = 1     w0 = (1 - c*pi/2)/c
B) r(-3*pi/2) = c*(-3*pi/2 + w0) = 5     c*(-3*pi/2)+(1 - c*pi/2) = 5
c*(-4*pi/2)= 4    c = -2/pi     w0 = -pi


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2012-03-21