SS 03 - Lösungen zur Prüfung 1, Y, 2.Juli2003

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 1 2.Juli2003
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine untere Dreieckmatrix der Dimension nxn auf?

L:

$n^2/2 + n/2$

1b)

Nennen Sie zwei Beispiele für dreifache Produkte derselben Rechtecksmatrix B und ihrer Transponierten B' in der Art von B'*B*B für welche die Matrix-Multiplikation bei beliebiger Rechtecksmatrix B legal ist. (Achtung! das Beispiel zeigt nur das Prinzip, diese Kombination ist nicht legal!)

L:

B'*B*B', B*B'*B

1c)

Der Operator ``.$\backslash$'' ist eigentlich überflüssig Wie könnte man $a.\backslash b$ ohne diesen Operator formulieren?

L;

b./a

1d)

Wie nennt man eine quadratische Matrix für welche gilt $A^T = A$?

L:

symmetrisch

2)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine nxn untere Dreiecksmatrix mit Werten füllt, welche dem Spaltenindex entsprechen. Zusätzlich sollen auf der Diagonalen, in der letzten Zeile und in der ersten Spalte Nullen stehen.

L:

M=zeros(n)
for zei=3:n-1
  for spa = 2:zei-1
    M(zei,spa) = spa;
  end
end

3)

Bestimmen Sie eine Ebene durch die Punkte A(10/0/0) und B(0/10/0) C(0/0/h) so dass der Winkel zwischen dieser Ebene und der x-y-Ebene 45$^{\mathrm{o}}$  beträgt. und suchen Sie den Wert für h. (Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwichen den Normalenvektoren.) Stellen Sie die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen Normalform dar und bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von dieser Ebene.

L:

ac = [-10 0 h]', bc = [0 -10 h]
N = [10*h 10*h 100]', Nxy = [0 0 1]
Nxy'*N = 100 = cos(45$^{\mathrm{o}}$)* norm(N) = 0.707 *10*sqrt(2*h*h+100)
h = 7.0711
N=[70.7107 70.7107 100]' ; en = [0.5 0.5 0.7071];
Hesse'sche Normalform $e_n'*OP - 5 = 0$, d= 5

4)

Geben Sie die Abfolge der einzelnen Rechenschritte an, welche für ein allgemeines 2x2-System für das die L-R-Zerlegung A=L*R vorliegt die Lösung x des Gleichungssystems A*x=b liefern. Die vorgegebenen Werte sind also $l_{21}$, $r_{11}$ $r_{12}$, $r_{22}$, sowie $b_1,~ b_2~$.

L:

Vorwärts-Einsetzen: $y_1 = b_1$ , $y_2 = b2 - l_{21}*y_1$
Rückwärts-Einsetzen: $x_2 = y_2 / r_{22}$ , $x_1 = (y_1 - r_{12}*x_2) / r_{11}$

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den Rhombus mit den Ecken A=(6/8), B=(5/4), C=(6/0) D=(7/4) um +90$^{\mathrm{o}}$  im Gegenuhrzeigersinnn um die Ecke A dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'D'.

L:

T1 = [1 0 -6; 0 1 -8; 0 0 1]; T2 = [0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1] T3 = [1 0 6; 0 1 8; 0 0 1];
TT = [0 -1 14; 1 0 2; 0 0 1]
A'=(6/8), B'=(10/7), C'=(14/8), D'=(10/9)

6)

Suchen Sie die Parameter zur unten gezeichneten archimedischen Spirale durch die Punkte (0/-3) und (0/-5) und geben Sie ein Matlab-Skript an, um diese in kartesischen Koordinaten zu zeichnen.

6)

A) r(-pi/2) = c*(-pi/2 + w0) = 3     w0 = (3 + c*pi/2)/c
B) r(-5*pi/2) = c*(-5*pi/2 + w0) = 5     c*(-5*pi/2)+(3 + c*pi/2) = 5
c*(-4*pi/2)= 2    c = -1/pi     w0 = -5*pi/2