SS 04 - Lösungen der Prüfung 1, RGBY, 30.Juni2004

R   Lösungen Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Juni2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Eine Kurve in Polarkoordinaten-Darstellung ist als Tabelle 'r, w' (Radius, Winkel in Radian) gegeben. Wie kann man daraus die Vektoren erhalten, um die Kurve mit plot(x,y) zu zeichnen?

L 1a)

x = r .* cos(w) ; y = r .* sin(w) ;

1b)

Mit welcher Zahl muss man eine komplexe Zahl ``z'' multiplizieren, damit die grafische Darstellung des Resultates als Vektor senkrecht auf der Darstellung von ``z'' steht?

L 1b)

z steht senkrecht auf i*z oder -i*z

1c)

Welches ist der Rang einer 5x5 Scroll-up Matrix , welche die oben herausfallende Zeile unten nicht wieder einfügt?

1c)

5-1 = 4

1d)

Wie nennt man das spezielle Lösungsverfahren eines linearen Gleichungssystems der Form $R\cdot x = b$ wenn bekannt ist, dass es sich bei $R$ um eine Rechts-Dreiecksmatrix handelt?

1d)

Rückwärtseinsetzen.

2)

Bestimmen Sie die Ebene E durch die Punkte $A(3/0/0)$, $B(0/4/0)$ und $C(0/0/3.2)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichungen der zwei zu E parallelen Ebenen F und G an. Dabei F soll durch den Koordinatenursprung gehen und G soll doppelt so weit vom Ursprung entfernt sein wie E.

L 2)

en = [0.64 0.48 0.6]' ; d=1.92
E: en'*OP-1.92 = 0 , F: en'*OP = 0; G: en'*OP-3.84 = 0

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 2nx2n untere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit dem Wert 2 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und links davon n Werte (bzw. bis zum Rand) nebeneinander verschieden von Null sind. Auf der Diagonalen soll jedoch der Wert 1 stehen.

L 3)

 
M=zeros(2*n)
for zei= 1:2*n
for spa = max(1,zei-n):zei
M(zei,spa)= 2
end
M(zei,zei)=1
end

4)

Welche Werte müssen die Parameter $a$, $b$ und $c$ annehmen, damit die nebenstehende Matrix orthogonal ist?

 

$${ \left( \begin{array}{rrrr} \sqrt{3}/2 & a & 0 & 0 \\ b & \sqrt{3}/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{array}\right)}$$

L 4)

a=1/2 b=-1/2 oder a=-1/2 b=1/2 und c=1 oder c=-1

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die Pfeil-Figur mit den Ecken $L =(0/-8)$, $S=(4/-7)$, $R=(0/-6)$ um -90$^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Spitze S dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten L'S'R'.

L 5)

S=[1 0 -4 ; 0 1 7 ; 0 0 1] ; R= [0 1 0 ; -1 0 0 ; 0 0 1]; B=[1 0 4 ; 0 1 -7 ; 0 0 1];
Ttot = B*R*S = [ 0 1 11 ; -1 0 -3 ; 0 0 1 ]; Ptrans = [3 4 5; -3 -7 -3 ; 1 1 1]

6)

Suchen Sie die Darstellung der Schraubenlinie mit Achse entlang der y-Achse, welche durch die Punkte (0/0/8) und (8/1/0) geht, und geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.

L 6)

w = (0:0.0625:8)*pi; z = 8*cos(w) ; x = 8*sin(w); y = w*2/pi;
plot3(x, y, z,'r-o'); axis equal