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SS 2004 - Lösungen zur Prüfung 2, G, 18.Aug.2004

G   Lösungen Ingenieurmathematik Prüfung 2 18.August2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie zwei arithmetische Operationen an, welche aus einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl ein reelles Resultat erzeugen!

L 1a)
$z +\overline{z}$ und $z*\overline{z}$

1b)
Wieviele Nullen hat es in einer nxn Permutationsmatrix?

L 1b)
n*n-n

1c)
Wie nennt man die speziellen Lösungsverfahren, welche ein Gleichungssystem effizient lösen, falls die zugehörige Matrix eine Rechts- oder eine Linksdreiecksmatrix ist.

L 1c)
Rückwärtseinsetzen, Vorwärtseinsetzen

1d)
Wie lautet der MATLAB-Befehl, um die zu zeichnenden Punkte mit den Koordinatenvektoren xpl und ypl in einem Plot-Aufruf durch blaue Kreise zu markieren?

L 1d)
plot(xpl,ypl,'bo')

2)
Ein Turm einer modernen Kirche hat den Grundriss eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge von 5 m. Bei der Spitze, über dem rechten Winkel des Grundrisses ist das Kirchturmdach 4 m höher als bei der Unterkante, welche die beiden anderen Ecken horizontal verbindet. Berechnen Sie den wahren Neigungswinkel dieses Daches!

L 2)
n = cross([5 0 -4], [0 5 -4]') = [20 20 25]';
w=180/pi*acos(n'*[0 0 1]'/norm(n)) = 48.52$^{\mathrm{o}}$

3)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine nxn untere Dreiecksmatrix mit den Werten 5 füllt, jedoch von links oben beginnend nur so weit als noch gilt: $\mathrm{ (Zeilennummer)^2 + (Spaltennummer)^2 < 1.5*n^2}$

L 3)
n=8;  M=zeros(n);
for zei = 1:n
  for spa = 1:zei
    if (zei^2 + spa^2)<1.5*n^2
      M(zei,spa) = 5; 
    end
  end
end

4)
Ein (rechtwinkliger) Quader hat die Seitenlängen 4,8 und 2 in x,y und z-Richtung (4 in x, 8 in y, 2 in z). Die Ecken werden in der unteren Ebene (z=0) im Gegenuhrzeigersinn mit ABCD bezeichnet und korrespondierend in der oberen (z=2) mit EFGH. A sei im Nullpunkt. Bestimmen Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen Normalform für die Ebene durch die drei Punkte B,D,E und berechnen Sie alle Abstände der weiteren Quader-Eckpunkte von dieser Ebene.

L 4)
n=cross([4 0 -2]', [0 8 -2]'); en=[0.4364 0.2182 0.8729]';
en'*OP -1.7457 = 0 ; dA = -1.7457 ; dC,F,H = 1.7457 ; dG = 3.491

5)
Suchen Sie alle Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die ``L'' -Figur (4/2) (4/0) (5/0) zuerst an der Geraden y=6 spiegeln und das Bild der ersten Abbildung um den Drehpunkt (4/12) um +90$^{\mathrm{o}}$  drehen.

L 5)
T1 = [1 0  0; 0 1  -6; 0 0 1]; Mx = [1  0 0; 0 -1 0; 0 0 1];
T2 = [1 0  0; 0 1   6; 0 0 1]; L =  [4  4 5; 2  0 0; 1 1 1]
T3 = [1 0 -4; 0 1 -12; 0 0 1]; R =  [0 -1 0; 1  0 0; 0 0 1];
T4 = [1 0  4; 0 1  12; 0 0 1]
Ttot = T4*R*T3 * T2*Mx*T1  % = [ 0 1 4; 1 0 8 ; 0 0 1];
% Ltr = [6 4 4; 12 12 13; 1 1 1]

6)
Geben Sie die Funktion des totalen Differentials $\Delta F $ an für die Funktion
$F(x,y,z) = \sqrt{y} \cdot (y^2 + 1/x^2 + x^2/z^2)$.

L6)

\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\Delta F &=&
\sqrt{y} \cdot (- 2/x^3 + 2...
...
\sqrt{y} \cdot (-2 x^2/z^3)
\cdot \Delta z ~+~\\
\end{array}\end{displaymath}


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2012-03-21