SS 2004 - Lösungen zur Prüfung 2, B, 18.Aug.2004

B   Lösungen Ingenieurmathematik Prüfung 2 18.August2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wieviele Nullen hat es in einer nxn Permutationsmatrix?

L 1a)

n*n-n

1b)

Wie nennt man die speziellen Lösungsverfahren, welche ein Gleichungssystem effizient lösen, falls die zugehörige Matrix eine Rechts- oder eine Linksdreiecksmatrix ist.

L 1b)

Rückwärtseinsetzen, Vorwärtseinsetzen

1c)

Wie lautet der MATLAB-Befehl, um die zu zeichnenden Punkte mit den Koordinatenvektoren xpl und ypl in einem Plot-Aufruf durch magentarote Kreise zu markieren?

L 1c)

plot(xpl,ypl,'mo')

1d)

Geben Sie zwei arithmetische Operationen an, welche aus einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl ein reelles Resultat erzeugen!

L 1d)

$z +\overline{z}$ und $z*\overline{z}$

2)

Ein Turm einer modernen Kirche hat den Grundriss eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge von 3 m. Bei der Spitze, über dem rechten Winkel des Grundrisses ist das Kirchturmdach 4 m höher als bei der Unterkante, welche die beiden anderen Ecken horizontal verbindet. Berechnen Sie den wahren Neigungswinkel dieses Daches!

L 2)

n = cross([3 0 -4], [0 3 -4]') = [12 12 9]';
w=180/pi*acos(n'*[0 0 1]'/norm(n)) = 62.06$^{\mathrm{o}}$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das bei vorgegebenem n eine nxn obere Dreiecksmatrix mit den Werten 4 füllt, jedoch von links oben beginnend nur so weit als noch gilt: $\mathrm{ (Zeilennummer)^2 + (Spaltennummer)^2 < 1.2*n^2}$

L 3)

n=8;  M=zeros(n);
for zei = 1:n
  for spa = zei:n
    if (zei^2 + spa^2)<1.2*n^2
      M(zei,spa) = 4; 
    end
  end
end

4)

Ein (rechtwinkliger) Quader hat die Seitenlängen 8,16 und 4 in x,y und z-Richtung (8 inx, 16 in y, 4 in z). Die Ecken werden in der unteren Ebene (z=0) im Gegenuhrzeigersinn mit ABCD bezeichnet und korrespondierend in der oberen (z=4) mit EFGH. A sei im Nullpunkt. Bestimmen Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen Normalform für die Ebene durch die drei Punkte B,D,E und berechnen Sie alle Abstände der weiteren Quader-Eckpunkte von dieser Ebene.

L 4)

n=cross([8 0 -4]', [0 16 -4]'); en=[0.4364 0.2182 0.8729]';
en'*OP -3.4915 = 0 ; dA = -3.4915 ; dC,F,H = 3.4915 ; dG = 6.983

5)

Suchen Sie alle Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die ``L'' -Figur (4/2) (4/0) (5/0) zuerst an der Geraden y=5 spiegeln und das Bild der ersten Abbildung um den Drehpunkt (4/10) um +90$^{\mathrm{o}}$  drehen.

L 5)

T1 = [1 0  0; 0 1  -5; 0 0 1]; Mx = [1  0 0; 0 -1 0; 0 0 1];
T2 = [1 0  0; 0 1   5; 0 0 1]; L  = [4  4 5; 2  0 0; 1 1 1]
T3 = [1 0 -4; 0 1 -10; 0 0 1]; R  = [0 -1 0; 1  0 0; 0 0 1];
T4 = [1 0  4; 0 1  10; 0 0 1]
Ttot = T4*R*T3 * T2*Mx*T1  % = [ 0 1 4; 1 0 6 ; 0 0 1];
% Ltr = [6 4 4; 10 10 11; 1 1 1]

6)

Geben Sie die Funktion des totalen Differentials $\Delta F$ an für die Funktion
$F(x,y,z) = \sqrt{z} \cdot (y^2/x^2 + 1/y^2 + z^2 )$.

L6)

$$\begin{array}{lcl} \Delta F &=& \sqrt{z} \cdot (-2y^2/x^3 ) ... ...+ z^2 ) + \sqrt{z} \cdot 2z~) \cdot \Delta z ~+~\\ \end{array}$$