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SS 2005 - Prüfung 1, R-G-B-Y, 29.Juni2005

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 29.Juni2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Welcher Typ Matrix entsteht aus einer hohen Rechtecksmatrix durch Transponieren?

1b)
Welches ist der maximal mögliche Rang einer 4x7 Matrix?

1c)
Geben Sie in der Ebene einen zum Vektor [3, -2]' senkrechten Vektor an.

1d)
Geben Sie eine symmetrische Matrix S und eine antisymmetrische Matrix A an, so dass gilt: S+A = [2, 4 ; 0, -3 ].

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & b_2 & b_1 \\
0 & 0 & a_2 &...
...\
d_1 & d_2 & d_3 & d_4
\end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

3)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 3nx3n untere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit den Werten 5 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und links davon bis zu n nebeneinander liegende Werte verschieden von Null sind (natürlich höchstens bis zum Rand). Das umfasst n-1 Nebendiagonalen und die Diagonale selbst.

4)
Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(9/0/0)$, $ B(0/12/0)$ und $C(0/0/9.6)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichung der zu E parallelen Ebene F an, welche die Punktspiegelung von E am Koordinatenursprung ist.

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Dreieck ABC mit den Ecken $ A =(6/0)$, $B=(6/6)$, $C=(3/3)$ um $-90^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Ecke B dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'.

6)
Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der x-Achse, welche durch die Punkte (0/0/6) und (8/0/6) gehen und dazwischen 4 Umgänge haben, so, dass die eine rechtsgängig und die andere linksgängig ist. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.


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2012-03-21